组卷台

(调和函数的 Hadamard 三圆定理) 设 $0 < r < R < \infty ,\Omega = \{z \in \mathbb{C} \mid r < |z| < R\}.\;u$ 在 $\Omega$ 上调和,在闭包 $\overline{\Omega }$ 上连续,记

$$M\left( \rho \right) = \mathop{\max }\limits_{\left| z\right| = \rho }u\left( z\right) ,\;r \leq \rho \leq R.$$

证明: $M\left( \rho \right)$ 在 $\left[ {r,R}\right]$ 上是 $\log \rho$ 的凸函数,即

$$M\left( \rho \right) \leq \frac{\log R - \log \rho }{\log R - \log r}M\left( r\right) + \frac{\log \rho - \log r}{\log R - \log r}M\left( R\right) .$$

等号对某 $\rho \in \left( {r,R}\right)$ 成立的充要条件是什么?

(双周期函数的不动点) 利用辐角原理证明: 非常值双周期函数 $f$ 有无穷个不动点,即 $f\left( z\right) - z$ 在 $\mathbb{C}$ 上有无穷个零点.

(单射的充分条件) 假设 $f : D\left( {0,r}\right) \rightarrow \mathbb{C}$ 全纯且非常值,幂级数展式 $f\left( z\right) = \; \mathop{\sum }\limits_{n = 0}^{\infty }{a}_{n}{z}^{n}$ 满足

$$\mathop{\sum }\limits_{n = 2}^{\infty }n\left| {a}_{n}\right| {r}^{n - 1} \leq \left| {a}_{1}\right|$$

证明 $f$ 是单射.

(荒岛寻宝) 从前有个年轻的探险家, 他在曾祖父的遗物中发现了一张羊皮卷, 上面标注了一个宝藏的位置. 它这样写道: “在北纬 $\times \times \times$ 度,西经 $\times \times \times$ 度有一座荒岛. 岛的北岸有一片草地，草地上有一棵橡树和一棵松树，还有一座绞架. 那是曾绞死叛变者的地方. 从绞架走到橡树, 然后右拐直角走同样步数, 在这里打第一个桩. 从绞架走到松树, 然后左拐直角走同样步数, 在这里打第二个桩. 两桩连线中点即为宝藏所在”. 这位年轻人马上租船前往此岛. 但令他大失所望的是, 虽然橡树和松树仍在, 但经风吹雨淋, 绞架已溃烂成土，无迹可寻. 请问这位年轻人能找到宝藏吗?

(复合函数) 假设 $f : \Omega \rightarrow D$ 全纯, $w = f\left( z\right) ,u \in {C}^{2}\left( D\right)$ . 证明: Laplace 算子满足

$${\Delta }_{z}\left( {u \circ f}\right) = {\left| {f}^{\prime }\left( z\right) \right| }^{2}\left( {{\Delta }_{w}u}\right) \circ f.$$

注: 这说明,若 $u$ 调和,则 $u \circ f$ 调和.

(Schwarz 引理的应用) $u$ 在 $\mathbb{D}$ 上非负调和, $u\left( 0\right) = 1$ .

1. 求 $u\left( {1/2}\right)$ 的最大值和最小值.
2. 当 $u\left( {1/2}\right)$ 达到极值时,求出 $u$ 的表达式.

(求根) 假设 $f$ 在 $\overline{D\left( {0,R}\right) }$ 上全纯,在 $\{ \left| z\right| = R\}$ 上不取零值. 如果

$$\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\left| z\right| = R}\frac{{f}^{\prime }\left( z\right) }{f\left( z\right) }\mathrm{d}z = 2$$

$$\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\left| z\right| = R}z\frac{{f}^{\prime }\left( z\right) }{f\left( z\right) }\mathrm{d}z = 2$$

$$\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\left| z\right| = R}{z}^{2}\frac{{f}^{\prime }\left( z\right) }{f\left( z\right) }\mathrm{d}z = - 4$$

求出 $f$ 在 $D\left( {0,R}\right)$ 上的所有根.

(和函数的性质) 假设幂级数 $\mathop{\sum }\limits_{n = 0}^{\infty }{a}_{n}{z}^{n}$ 的系数满足 $\mathop{\lim }\limits_{n \rightarrow \infty }{a}_{n} = 0$ . 证明和函数 $f$ 在单位圆盘 $\mathbb{D}$ 上收敛，且满足

$$\mathop{\lim }\limits_{\left| z\right| \rightarrow 1}\left( {1 - \left| z\right| }\right) \left| {f\left( z\right) }\right| = 0.$$

(正弦函数的映射性质) 证明: $\sin z$ 将顶点在 $\pm \pi /2 \pm \mathrm{i}r\left( {r > 0}\right)$ 的矩形区域双全纯映为椭圆区域

$$\left\{ {u + \mathrm{i}v \mid {u}^{2}/{\cosh }^{2}r + {v}^{2}/{\sinh }^{2}r < 1}\right\} .$$

提示: 利用等式 $\sin \left( {x + \mathrm{i}y}\right) = \cosh y\sin x + \mathrm{i}\sinh y\cos x$ .

(有界域最大模原理的另一种形式) 假设 $\Omega$ 是平面有界区域, $f$ 在 $\Omega$ 上全纯. 如果存在常数 $M < + \infty$ ,使对任意 ${z}_{0} \in \partial \Omega$ ,

$$\mathop{\limsup }\limits_{{z \rightarrow {z}_{0}}}\left| {f\left( z\right) }\right| \leq M$$

证明 $\lVert f\rVert_{\Omega } \leq M$ .