组卷台

试证明下列命题:
(1) 设 $A,B$ 是 $\mathbf{R}$ 中的可测集,且 $m\left( A\right) > 0,m\left( B\right) > 0$ ,则 $A + B$ 中包含一个区间 $I : m\left( I\right) > 0$ .
(2) 设 $\left\{ {D}_{n}\right\}$ 是含于平面上单位圆盘(闭) $D$ 内的互不相交且半径为 $\left\{ {r}_{n}\right\}$ 的 (闭) 圆盘列,若有 $m\left( {D \setminus \mathop{\bigcup }\limits_{n = 1}{D}_{n}}\right) = 0$ ,则 $\mathop{\sum }\limits_{n = 1}{r}_{n} = + \infty$ .
(3) 存在 ${\mathbf{R}}^{2}$ 中可测集 $E$ ，使 $E + E$ 不可测.

求下列点集 $E$ 的导集 ${E}^{\prime }$ :
(1) $E = \{ 1/n + 1/m : n,m \in \mathbf{N}\}$ ;
(2) $E = \left\{ {\left( {\sqrt{m} - \sqrt{n}}\right) /\left( {\sqrt{m} + \sqrt{n}}\right) : m,n \in \mathbf{N}}\right\}$ ；
(3) $E = \left\{ {{x}_{n} = \sqrt[n]{{4}^{{\left( -1\right) }^{n}} + 2} : n \in \mathbf{N}}\right\}$ ；
(4) $E = \left\{ {{x}_{n} = \left[ {\left( {1 - {\left( -1\right) }^{n}}\right) {2}^{n} + 1}\right] /\left( {{2}^{n} + 3}\right) : n \in \mathbf{N}}\right\}$ ;
(5) $E = \left\{ {{x}_{n} = \left[ {\left( {1 + \cos {n\pi }}\right) \ln {3n} + \ln n}\right] /\ln {2n} : n \in \mathbf{N}}\right\}$ ;
(6) $E = \left\{ {{x}_{n} = \sin {n}^{2/3} : n \in \mathbf{N}}\right\}$ ;
(7) $E = \left\{ {{x}_{n} = \sin \ln n : n \in \mathbf{N}}\right\}$ ;
(8) $E = \left\{ {{x}_{n} = \sqrt{m} - \sqrt{n} : m,n \in \mathbf{N}}\right\}$ .

试证明下列命题:
(1) 设 $C \subset \left[ {0,1}\right]$ 是 Cantor 集,则存在 ${x}_{0} \in \mathbf{R}$ ,使得点集 $C + \left\{ {x}_{0}\right\} \; = \left\{ {x + {x}_{0} : x \in C}\right\}$ 不含有理数.
(2) 设 $F \subset {\mathbf{R}}^{2}$ 是非空真闭子集. 若 $\partial F$ 不包含完全集，则 $F$ 是可数集.
(3) $E \subset \mathbf{R}$ 是完全集的充分必要条件是 $E = {\left( \mathop{\bigcup }\limits_{n \geq 1}\left( {a}_{n},{b}_{n}\right) \right) }^{c}$ ，其中 $\left( {{a}_{i},{b}_{i}}\right)$ 与 $\left( {{a}_{j},{b}_{j}}\right) \left( i \neq j \right)$ 无公共端点.

试证明下列命题:
(1) 设 $f\left( x\right)$ 是 $\left[ {0,1}\right]$ 上的非负函数,且对任给 $\varepsilon > 0$ ,有 $f \in \; R\left( \left[ {\varepsilon ,1}\right] \right)$ ,则 $f \in L\left( \left[ {0,1}\right] \right)$ 当且仅当存在极限 $\mathop{\lim }\limits_{\varepsilon \rightarrow 0}{\int }_{\varepsilon }^{1}f\left( x\right) \mathrm{d}x$ .
(2) 设 $F \subset \left[ {0,1}\right]$ 是闭集，且 $m\left( F\right) = 0$ ，则 ${\chi }_{F} \in R\left( \left[ {0,1}\right] \right)$ .
(3) 设 $f \in R\left( \left[ {a,b}\right] \right) ,g \in R\left( \left[ {a,b}\right] \right) ,E \subset \left[ {a,b}\right]$ 且 $\bar{E} = \left[ {a,b}\right]$ . 若 $f\left( x\right) = g\left( x\right) \left( x \in E \right)$ ,则 ${\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{a}^{b}g\left( x\right) \mathrm{d}x$ .

设 $E \subset {\mathbb{R}}^{n}$ ,证明:

${\left( \overset{ \circ }{E}\right) }^{c} = \overline{{E}^{c}}$ ;

${\left( \bar{E}\right) }^{c} = {\overset{ \circ }{E}}^{c}$ .

设 $\left\{ {r}_{n}\right\}$ 是 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 中全体有理数,求证: $\mathop{\sum }\limits_{k = 1}^{\infty }\frac{1}{{k}^{2}\sqrt{\left| x - {r}_{k}\right| }}$ 在 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上 a.e. 收敛.

解答下列问题:
(1) 设在可测集 $E \subset \mathbf{R}$ 上， ${f}_{n}\left( x\right) \left( n = 1,2,\cdots \right)$ 几乎处处收敛于 $f\left( x\right)$ ,且依测度收敛于 $g\left( x\right)$ ,试问是否有关系式

$$g\left( x\right) = f\left( x\right) ,\;\text{ a.e. }x \in E?$$
(2) 设 $f\left( x\right) ,{f}_{1}\left( x\right) ,{f}_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{f}_{k}\left( x\right) ,\cdots$ 是 $E$ 上几乎处处有限的可测函数,且 $m\left( E\right) < \infty$ . 若在 $\left\{ {{f}_{k}\left( x\right) }\right\}$ 的任一子列 $\left\{ {{f}_{{k}_{j}}\left( x\right) }\right\}$ 中均存在几乎处处收敛于 $f\left( x\right)$ 的子列 $\left\{ {{f}_{{k}_{{i}_{j}}}\left( x\right) }\right\}$ ,试证明 $\left\{ {{f}_{k}\left( x\right) }\right\}$ 在 $E$ 上依测度收敛于 $f\left( x\right)$ .
(3) 设 $\left\{ {{f}_{k}\left( x\right) }\right\}$ 是 $E \subset \mathbf{R}$ 上正值可测函数列. 若 ${f}_{k}\left( x\right)$ 在 $E$ 上依测度收敛于 $f\left( x\right)$ ,试证明对 $p > 0,{f}_{k}^{p}\left( x\right)$ 在 $E$ 上依测度收敛于 ${f}^{p}\left( x\right)$ .
(4) 设 $E \subset \mathbf{R}$ 上可测函数列 $\left\{ {{f}_{k}\left( x\right) }\right\}$ 满足

$${f}_{k}\left( x\right) \geq {f}_{k + 1}\left( x\right) \;\left( k = 1,2,\cdots \right) .$$

若 ${f}_{k}\left( x\right)$ 在 $E$ 上依测度收敛到 0,试问 ${f}_{k}\left( x\right)$ 在 $E$ 上是否几乎处处收敛于 0 ?

试证明下列命题:
(1) 若 $\left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\}$ 是 $E \subset \mathbf{R}$ 上依测度收敛列,且有

$$\left| {{f}_{n}\left( {x}^{\prime }\right) - {f}_{n}\left( {x}^{\prime \prime }\right) }\right| \leq M\left| {{x}^{\prime } - {x}^{\prime \prime }}\right| ,\;{x}^{\prime },{x}^{\prime \prime } \in E,$$

则 $\left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\}$ 是 $E$ 上几乎处处收敛列.
(2) 设 $E \subset \mathbf{R}$ 且 $m\left( E\right) < + \infty ,\left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\}$ 是 $E$ 上实值可测函数列，则 ${f}_{n}\left( x\right)$ 在 $E$ 上依测度收敛于 $f\left( x\right)$ 的充分必要条件是:

$$\mathop{\lim }\limits_{n \rightarrow \infty }{F}_{n}\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{n \rightarrow \infty }\frac{\left| {f}_{n}\left( x\right) - f\left( x\right) \right| }{1 + \left| {{f}_{n}\left( x\right) - f\left( x\right) }\right| } = 0,\;\text{ a.e. }x \in E.$$

设 $f\left( x\right) ,g\left( x\right)$ 是定义在 $E$ 上的函数,证明: 对任意 $\varepsilon > 0$ ,

$$\{ x : \left| {f\left( x\right) + g\left( x\right) }\right| > {2\varepsilon }\} \subset \{ x : \left| {f\left( x\right) }\right| > \varepsilon \} \cup \{ x : \left| {g\left( x\right) }\right| > \varepsilon \} .$$

试证明下列命题:
(1) 设 $E \subset \mathbf{R}$ ，且存在 $q : 0 < q < 1$ ，使得对任一区间 $\left( a,b \right)$ ，都有开区间列 $\left\{ {I}_{n}\right\}$ :

$$E \cap \left( a,b \right) \subset \mathop{\bigcup }\limits_{n = 1}^{\infty }{I}_{n},\;\mathop{\sum }\limits_{n = 1}^{\infty }m\left( {I}_{k}\right) < \left( b - a \right) q.$$

则 $m\left( E\right) = 0$ .
(2) 设 $\alpha > 2$ ，作 $\mathbf{R}$ 中点集:

$E = \{ x :$ 存在无限个分数 $p/q,p$ 与 $q$ 是互素的自然数，

使得 $\left| {x - p/q}\right| < 1/{q}^{a}\}$ ,

则 $m\left( E\right) = 0$ .
(3) 设 $E \subset [ 0,1)$ 是可测集，且 $m\left( E\right) > 0$ ，令

$A = \{ x \in [ 0,1) :$ 存在 $n \in \mathbf{N}$ 以及 $t \in E$ ,使得 $x = \{ {nt}\} \}$ , ( $\{ {nt}\}$ 是 ${nt}$ 的小数部分) 则 $m\left( A\right) = 1$ .