组卷台

求解实方程 $(\D^2 + k^2)x = h\sin pt$，其中 $k>0, p>0$ 和 $h$ 都是实常数.

验证

$$\mathbf{X}\left( t\right) = \left( \begin{matrix} {\mathrm{e}}^{2t} & t{\mathrm{e}}^{2t} \\ 0 & {\mathrm{e}}^{2t} \end{matrix}\right)$$

是微分方程组:

$$\frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t} = \left( \begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{array}\right) \mathbf{x}$$

的基解矩阵.

设 $x = \varphi(t,x_0,y_0), y = \psi(t,x_0,y_0)$ 是常微分方程组
$$\begin{cases} \dfrac{\dif x}{\dif t} = xy + t^2, \\ 2\dfrac{\dif y}{\dif t} = -y^2, \\ \varphi(1,x_0,y_0) = x_0, \\ \psi(1,x_0,y_0) = y_0 \end{cases}$$
的解.试通过直接求解体会解关于初值的连续可微性，并计算 $\dfrac{\partial \varphi}{\partial y_0}(t,3,2)$.

求方程 ${y}^{\prime \prime } + {y}^{\prime } = 2{x}^{2} - 3$ 的通解.

试用压缩映射原理证明隐函数定理：在条形区域 $[a,b] \times \mathbb{R}$ 上，设二元函数 $f(x,y)$ 连续，$\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)$ 处处存在，且满足关系式
$$0 < m \leqslant \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) \leqslant M,$$
其中 $m$ 和 $M$ 都是实常数，那么方程 $f(x,y) = 0$ 在 $[a,b]$ 上有且只有一个连续的解.

设 $f\left( t\right)$ 在 $\left( {0, + \infty }\right)$ 内有二阶连续导数，记 $g\left( {x,y}\right) = f\left( \frac{y}{x}\right)$ . 若 $g\left( {x,y}\right)$ 满足 ${x}^{3}\frac{{\partial }^{2}g}{\partial {x}^{2}} + {x}^{2}y\frac{{\partial }^{2}g}{\partial x\partial y} + \; x{y}^{2}\frac{{\partial }^{2}g}{\partial {y}^{2}} = y$ ,且 $g\left( {y,y}\right) = 1,{\left. \frac{\partial g}{\partial y}\right| }_{\left( y,y\right) } = \frac{2}{y}$ ,求 $f\left( t\right) .$

验证形如

$${yg}\left( {xy}\right) \mathrm{d}x + {xh}\left( {xy}\right) \mathrm{d}y = 0$$

的微分方程,可经变量代换 $z = {xy}$ 化为可分离变量的方程.

设 $\varphi_n(t)$ 是初值问题
$$\frac{\dif x}{\dif t} = 1 + x^2, \quad x\left( \frac{1}{n} \right) = \frac{1}{n^2}$$
的解.试证明：对于给定的 $\varepsilon > 0$，存在正整数 $N$，使得当 $n \geqslant N$ 时 $\varphi_n(t)$ 在闭区间
$$\left[ -\frac{\pi}{2} + \varepsilon, \frac{\pi}{2} - \varepsilon \right]$$
上存在，且满足 $|\varphi_n(t) - \tan t| < \varepsilon$.

设

$$f\left( x\right) = \frac{x\cos \theta - \sin \theta }{x\sin \theta + \cos \theta },$$

证明当 $n \geq 1$ 时,

$${f}^{n}\left( x\right) = \frac{x\cos {n\theta } - \sin {n\theta }}{x\sin {n\theta } + \cos {n\theta }}.$$

设环境保持恒定温度 ${20}^{ \circ }\mathrm{C}$ ，有一物体的温度在 ${10}\mathrm{\;s}$ 内从 ${100}^{ \circ }\mathrm{C}$ 降到 ${60}^{ \circ }\mathrm{C}$ ，若物体温度下降的速度与该物体与环境温度之差成正比,问此物体从 ${100}^{ \circ }\mathrm{C}$ 降到 ${25}^{ \circ }\mathrm{C}$ 需要多少时间?
·