组卷台

证明： 如果曲面 $S$ 上的渐近曲线网的夹角是常数,则曲面 $S$ 的 Gauss 曲率 $K$ 和平均曲率 $H$ 的平方成比例.

设 $C$ 是直纹面 $S$ 上与直母线处处正交的一条曲线,由直纹面 $S$ 沿曲线 $C$ 的法线又构成另一个直纹面 $\widetilde{S}$ . 证明： $\widetilde{S}$ 是可展曲面的充分必要条件为 $S$ 是可展曲面.

设 $C$ 是曲面 $S$ 上的一条非直线的渐近曲线,其参数方程为

$$u = u\left( s\right) ,\;v = v\left( s\right)$$

其中 $s$ 是弧长参数. 证明： $C$ 的挠率是

$$\tau = \frac{1}{\sqrt{{EG} - {F}^{2}}}\left| \begin{matrix} {\left( {v}^{\prime }\left( s\right) \right) }^{2} & - {u}^{\prime }\left( s\right) {v}^{\prime }\left( s\right) & {\left( {u}^{\prime }\left( s\right) \right) }^{2} \\ E & F & G \\ L & M & N \end{matrix}\right| .$$

求双曲抛物面 $\mathbf{r} = \left( {a\left( {u + v}\right) ,b\left( {u - v}\right) ,{2uv}}\right)$ 的 Gauss 曲率 $K$ , 平均曲率 $H$ ,主曲率 ${\kappa }_{1},{\kappa }_{2}$ 和它们所对应的主方向.

证明下列恒等式:
（1）${g}^{\alpha \delta }{\Gamma }_{\delta \gamma }^{\beta } + {g}^{\beta \delta }{\Gamma }_{\delta \gamma }^{\alpha } = - \frac{\partial {g}^{\alpha \beta }}{\partial {u}^{\gamma }}$
（2）$\frac{\partial {g}_{\gamma \beta }}{\partial {u}^{\alpha }} - \frac{\partial {g}_{\alpha \gamma }}{\partial {u}^{\beta }} = {g}_{\beta \lambda }{\Gamma }_{\gamma \alpha }^{\lambda } - {g}_{\alpha \lambda }{\Gamma }_{\gamma \beta }^{\lambda }$ ;
（3）${\Gamma }_{\alpha \beta }^{\beta } = \frac{1}{2}\frac{\partial \log g}{\partial {u}^{\alpha }}$ ,其中 $g = {g}_{11}{g}_{22} - {\left( {g}_{12}\right) }^{2}$ .

设 $S$ 是圆锥面 $\mathbf{r} = \left( {v\cos u,v\sin u,v}\right) ,C$ 是 $S$ 上的一条曲线, 其方程是 $u = \sqrt{2}t,v = {\mathrm{e}}^{t}$ .
（1）将曲线 $C$ 的切向量用 $\mathbf{r}_{u},\mathbf{r}_{v}$ 的线性组合表示出来;
（2）证明： $C$ 的切向量平分了 $\mathbf{r}_{u}$ 和 $\mathbf{r}_{v}$ 的夹角.

证明： 挠率不为零的正则曲线必有一个由其单参数法线族构成的可展曲面.

考虑球面

$$\mathbf{r} = \left( {a\cos u\cos v,a\cos u\sin v,a\sin u}\right) ,\;a > 0$$

上的曲线 $u = v$ . 求该曲线分别与曲线 $v = {v}_{0}$ (常数) 和曲线 $u = {u}_{0}$ (常数) 的夹角.

设曲面 $S$ 的第一基本形式是 $\mathrm{I} = {\left( \mathrm{d}u\right) }^{2} + G\left( {u,v}\right) {\left( \mathrm{d}v\right) }^{2}$ ,求 ${\Gamma }_{\alpha \beta }^{\gamma }$ 和 Gauss 曲率 $K$ .

设曲面 $S$ 由方程 $z = f\left( {x,y}\right)$ 给出.
（1）证明：曲面 $S$ 上的测地线微分方程可以写成

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^{2}} = {\Gamma }_{22}^{1}{\left( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right) }^{3} - \left( {{\Gamma }_{22}^{2} - 2{\Gamma }_{12}^{1}}\right) {\left( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right) }^{2} + \left( {{\Gamma }_{11}^{1} - 2{\Gamma }_{12}^{2}}\right) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - {\Gamma }_{11}^{2},$$

其中记号 ${\Gamma }_{\alpha \beta }^{\gamma }$ 意指把 $x,y$ 作为曲面的参数 ${u}^{1},{u}^{2}$ ;
（2）证明：曲面 $S$ 上的测地线微分方程是

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^{2}}\left( {1 + {p}^{2} + {q}^{2}}\right) = \left( {r + {2s}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + t{\left( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right) }^{2}}\right) \left( {p\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - q}\right) ,$$

其中

$$p = \frac{\partial f}{\partial x},\;q = \frac{\partial f}{\partial y},\;r = \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial x},\;s = \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y},\;t = \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial y},$$

其中曲面 $S$ 以 $x,y$ 为参数,并且在计算 ${\Gamma }_{\alpha \beta }^{\gamma }$ 时把 $x,y$ 当成 ${u}^{1},{u}^{2}$ .