组卷台

设 $L$ 为一具有单位元素的交换环. 如果 $L$ 没有非平凡的理想, 证明 $L$ 是一域.

设二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的两根为 $x_1,x_2$.用方程系数表示 $x_1-x_2$,再结合 $x_1+x_2=-b/a$,推导二次方程的求根公式.

设 $K/F$ 为有限扩张. 证明: 若 $K/F$ 为单扩张,则域特征 $\chi \left( F\right) = 0$ 或者 $\chi \left( F\right) = \; p > 0$ ,而且 $\left[ {K : F\left( {K}^{p}\right) }\right] \leq p$ .

设 $R$ 为一交换环. 证明: 若 $f\left( x\right) \in R\left[ x\right]$ 是一个零因子,则存在 $R$ 的一个元素 $a\left( {a \neq 0}\right)$ 使得 ${af}\left( x\right) = 0$ ; 反之显然.

设 $K = F\left( t\right)$ 为单超越扩张. 证明 $G = \operatorname{Gal}\left( {K/F}\right)$ 与商群 ${GL}\left( {2,F}\right) /{F}^{ \bullet }E$ 同构,其中 ${GL}\left( {2,F}\right)$ 表示 $F$ 上 $2 \times 2$ 可逆矩阵群, $E$ 为单位矩阵. 并且 $G$ 可由下列元素生成:

$${\sigma }_{a} : t \mapsto t + a,\;{\tau }_{b} : t \mapsto {bt},\;\rho : t \mapsto {t}^{-1},\;a,b \in F,b \neq 0.$$

设群 $G$ 中两个元 $g,h$ 可换, $o\left( g\right) = m,o\left( h\right) = n$ . 记 $\left( {m,n}\right) ,\left[ {m,n}\right]$ 分别是 $m,n$ 的最大公因子和最小公倍数. 则

1. $o\left( {{g}^{n}{h}^{m}}\right) = \frac{\left[ m,n\right] }{\left( m,n\right) }$ ;
2. $G$ 中存在阶为 $\left( {m,n}\right)$ 的元；
3. $G$ 中存在阶为 $\left[ {m,n}\right]$ 的元.

证明 $(x)$ 是 $\Z[x]$ 的素理想但非极大理想.

具体写出下列多项式在指定域上的群:

1. (i) ${x}^{5} - 2$ 在 $\mathbf{Q}$ 上的群;
2. (ii) ${x}^{5} - 2$ 在 $\mathbf{Q}\left( \sqrt{5}\right)$ 上的群.

证明 $\mathbf{Z}\left[ {\frac{1}{2}\left( {1 + \sqrt{5}}\right) }\right]$ 为欧几里得整环.

举出一个满足右消去律但不是群的有限半群.