组卷台

设函数 $f$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导， $f(0)=0$ 、 $f(1)=1$ ，并存在 $c\in(0,1)$ 使得 $f(c)>c^2$ 。证明：至少存在 $\xi\in(0,1)$ ，使得 $$f''(\xi)<2.$$

设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有界且连续，若对任意的 $c\in\mathbb{R}$，函数 $f(x)-c$ 在 $(0,+\infty)$ 上至多有有限个零点，证明：$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ 存在.

数列 $\{F_n\}$ 由
$$F_0=1,\qquad F_1=1,\qquad F_{n+1}=F_n+F_{n-1}\quad(n=1,2,\ldots)$$
定义.证明
$$\lim_{n\to+\infty}\frac{F_n}{F_{n+1}} =\frac{\sqrt5-1}{2}\approx0.618.$$

讨论 $f(x)=(ax+b)/(cx+d)$ （ $cd\ne0$ ）无极值的条件。

设 $f,g$ 在区间 $I$ 上一致连续。
（1）证明 $f+g$ 一致连续；
（2）证明在有限区间上 $fg$ 一致连续；
（3）在无限区间举例说明 $fg$ 未必一致连续。

计算下列各题：
（1）求极限


$$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[m]{\cos x}-\sqrt[n]{\cos x}}{\sin^2x},\qquad m,n\in\mathbb Z^+$$
（2）求曲线


$$(x-b)^2+y^2=a^2,\qquad 0<a<b$$


绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转曲面的面积。
（3）计算积分


$$\oint_L(e^x-y^2)\,\mathrm dx+(x^2+ye^y)\,\mathrm dy$$


其中 $L$ 为取逆时针方向的椭圆


$$\frac{(x-1)^2}{2}+\frac{(y-2)^2}{8}=1$$
（4）设


$$z=xf\left(\frac{x}{y}\right)+yg\left(\frac{y}{x}\right)$$


其中 $f,g$ 具有二阶连续导数，求


$$x^4y^2\frac{\partial^2z}{\partial x^2}+x^3y^3\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}$$

设函数 $f$ 在点 $x=x_0$ 处可导。
（1）记 $$x_n=\sum_{k=1}^n f\left(x_0+\frac{k}{n^2}\right)-nf(x_0).$$ 证明： $$\lim_{n\to\infty}x_n=\frac12f'(x_0).$$
（2）求极限 $$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\sin\frac{k}{n^2}.$$
（3）求极限 $$\lim_{n\to\infty}\prod_{k=1}^n\left(1+\frac{k}{n^2}\right).$$

把满足下述条件 1) 和 2) 的实函数 $f$ 的全体记作 $F$ :
(1) $f\left( x\right)$ 在闭区间 $\left[ {0,1}\right]$ 上连续,并且非负;
(2) $f\left( 0\right) = 0,f\left( 1\right) = 1$ . 试证: $\mathop{\inf }\limits_{f \in F}{\int }_{0}^{1}f\left( x\right) \mathrm{d}x = 0$ ,但不存在 $\varphi \in F$ ,使得 ${\int }_{0}^{1}\varphi \left( x\right) \mathrm{d}x = 0$ .

设 $f\left( {x,y}\right)$ 在 $D = \left[ {a,b}\right] \times \left[ {c,d}\right]$ 上有二阶连续导数.
(1) 通过计算验证: ${\iint }_{D}{f}_{xy}^{\prime \prime }\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y = {\iint }_{D}{f}_{yx}^{\prime \prime }\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y$ ;
(2) 利用 1) 证明: ${f}_{xy}^{\prime \prime }\left( {x,y}\right) = {f}_{yx}^{\prime \prime }\left( {x,y}\right) ,\left( {x,y}\right) \in D$ .

利用 $\cos ax$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上的 Fourier 展开式，证明：
（1）$\displaystyle\cot x=\frac1x+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2x}{x^2-n^2\pi^2}\quad(x\ne k\pi,\ k=0,\pm1,\pm2,\ldots)$；
（2）$\displaystyle\frac1{\sin x}=\frac1x+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{2x}{x^2-n^2\pi^2}\quad(x\ne k\pi,\ k=0,\pm1,\pm2,\ldots)$。