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概率论与数理统计(非数)综合训练卷

命题人：阳光海岸数学

科目：概率论题数：10 道总分：选填建议用时：选填

1. 题库 #8887

概率论基础
对任意两个事件 AA 和 BB，若 P(AB)=0P\left({AB}\right) = 0，则‾\underline{\qquad}.

A. P(A)P(B)=0P\left(A\right) P\left(B\right) = 0
B. P(A−B)=P(A)P\left({A - B}\right) = P\left(A\right)
C. AB‾=∅\overline{AB} = \varnothing
D. AB=∅{AB} = \varnothing

2. 题库 #8945

概率论提高
设随机变量 XX 服从 λ=2\lambda = 2 的指数分布,求 Y=1−e−2XY = 1 - {\mathrm{e}}^{-{2X}} 的分布函数和概率密度.

3. 题库 #8986

概率论基础
设随机变量 XX 与 YY 相互独立，且均存在非零方差， DX≠DY{DX} \neq {DY}，则‾\underline{\qquad}.

A. 2X+1{2X} + 1 与 2Y−1{2Y} - 1 相关
B. X+YX + Y 与 X−YX - Y 不相关
C. eX{\mathrm{e}}^{X} 与 Y+1Y + 1 相互独立
D. X+YX + Y 与 Y+1Y + 1 相互独立

4. 题库 #9009

概率论提高
设随机变量 X1,X2,⋯ ,Xn{X}_{1},{X}_{2},\cdots,{X}_{n} 独立同分布，且有相同的概率密度，则概率 P{Xn>min⁡{X1,X2,⋯}P\left\{ {{X}_{n} > \min \left\{ {{X}_{1},{X}_{2},\cdots }\right. }\right\}， Xn−1}=\left. \begin{array}{l} {X}_{n - 1} \end{array}\right\} =‾\underline{\hspace{7.5em}}.

5. 题库 #8990

概率论基础
一袋中有 NN 个球,其中白球数目 XX 是一个随机变量,且 EX=n{EX} = n,从袋中任取一球,则取得的球是白球的概率为‾\underline{\hspace{7.5em}}.

6. 题库 #8957

概率论提高
设随机变量 XX 与 YY 相互独立,其概率密度分别为 fX(x)={λ1e−λ1x,x>0,0,x≤0,,fY(y)=  {λ2e−λ2y,y>0,0,y≤0, 其中 λ1>0,λ2>0{f}_{X}\left(x\right) = \left\{ {\begin{array}{ll} {\lambda }_{1}{\mathrm{e}}^{-{\lambda }_{1}x}, & x > 0, \\ 0, & x \leq 0, \end{array},{f}_{Y}\left(y\right) = }\right. \; \left\{ {\begin{array}{ll} {\lambda }_{2}{\mathrm{e}}^{-{\lambda }_{2}y}, & y > 0, \\ 0, & y \leq 0, \end{array}\text{ 其中 }{\lambda }_{1} > 0,{\lambda }_{2} > 0}\right. 为常数. 令 Z={1,X≤Y,0,X>Y, 求 ZZ = \left\{ {\begin{array}{ll} 1, & X \leq Y, \\ 0, & X > Y, \end{array}\text{ 求 }Z}\right. 的分布律和分布函数.

7. 题库 #8917

概率论提高
设 XX 是随机变量，对任意实数 x,P{X=x}=0x,P\{ X = x\} = 0 的充分必要条件是‾\underline{\qquad}.

A. XX 的概率密度 f(x)f\left(x\right) 是连续函数
B. XX 的分布函数 F(x)F\left(x\right) 是连续函数
C. XX 为离散型随机变量
D. XX 是非离散型随机变量

8. 题库 #8985

概率论提高
设 (X,Y)\left({X,Y}\right) 服从二维正态分布，则 U=X+YU = X + Y 与 V=X−YV = X - Y 不相关的充分必要条件是‾\underline{\qquad}.

A. EX=EY{EX} = {EY}
B. E(X2)=E(Y2)E\left({X}^{2}\right) = E\left({Y}^{2}\right)
C. E(X2)+(EY)2=E(Y2)+(EX)2E\left({X}^{2}\right) + {\left(EY\right) }^{2} = E\left({Y}^{2}\right) + {\left(EX\right) }^{2}
D. E(X2)+(EX)2=E(Y2)+(EY)2E\left({X}^{2}\right) + {\left(EX\right) }^{2} = E\left({Y}^{2}\right) + {\left(EY\right) }^{2}

9. 题库 #9004

概率论拔尖
设随机变量 XX 与 YY 相关，相关系数为 ρXY,Z=aX+b(a,b 为常数 ){\rho }_{XY},Z = {aX} + b\left({a,b\text{ 为常数 }}\right)，则 ρYZ=ρXY{\rho }_{YZ} = {\rho }_{XY} 的充分必要条件为‾\underline{\qquad}.

A. a>0a > 0
B. a<0a < 0
C. a≠0a \neq 0
D. a=1a = 1

10. 题库 #10907

概率论提高
设随机变量 X1,X2,⋯ ,Xn{X}_{1},{X}_{2},\cdots,{X}_{n} 独立同分布,记 E(Xik)=μk(k=1,2,3,4)E\left({X}_{i}^{k}\right) = {\mu }_{k}\left({k = 1,2,3,4}\right),则由切比雪夫不等式, 对任意 ε>0\varepsilon > 0,有 P{∣1n∑i=1nXi2−μ2∣≥ε}≤P\left\{ {\left| {\frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{i = 1}^{n}{X}_{i}^{2} - {\mu }_{2}}\right| \geq \varepsilon }\right\} \leq‾\underline{\qquad}.

A. μ4−μ22nε2\frac{{\mu }_{4} - {\mu }_{2}^{2}}{n{\varepsilon }^{2}}
B. μ4−μ22nε2\frac{{\mu }_{4} - {\mu }_{2}^{2}}{\sqrt{n}{\varepsilon }^{2}}
C. μ2−μ12nε2\frac{{\mu }_{2} - {\mu }_{1}^{2}}{n{\varepsilon }^{2}}
D. μ2−μ12nε2\frac{{\mu }_{2} - {\mu }_{1}^{2}}{\sqrt{n}{\varepsilon }^{2}}
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概率论基础
设 X1{X}_{1}， X2{X}_{2}， ⋯\cdots， Xn{X}_{n} 为来自总体 X∼N(μ,1)X \sim N\left({\mu,1}\right) 的简单随机样本， Xˉ\bar{X} 为样本均值，对于假设检验 H0:μ=  μ0{H}_{0}: \mu = \; {\mu }_{0},若取拒绝域 Ra={Xˉ>μ0+1.96n},Φ(x){R}_{a} = \left\{ {\bar{X} > {\mu }_{0} + \frac{1.96}{\sqrt{n}}}\right\},\Phi \left(x\right) 为 N(0,1)N\left({0,1}\right) 的分布函数，则该检验犯第一类错误的概率 α\alpha 为‾\underline{\qquad}.

A. 1−Φ(0.04)1 - \Phi \left({0.04}\right)
B. 1−Φ(0.05)1 - \Phi \left({0.05}\right)
C. 1−Φ(1.96)1 - \Phi \left({1.96}\right)
D. 1−Φ(1)1 - \Phi \left(1\right)
概率论提高
设总体 XX 的概率密度为 f(x;θ)={θ⋅xθ−1,0≤x≤1,0, 其他, f\left({x;\theta }\right) = \left\{ \begin{array}{ll} \sqrt{\theta } \cdot {x}^{\sqrt{\theta } - 1}, & 0 \leq x \leq 1, \\ 0, & \text{ 其他, } \end{array}\right. 其中 θ>0\theta > 0 为未知参数， (x1,x2,⋯ ,xn)\left({{x}_{1},{x}_{2},\cdots,{x}_{n}}\right) 为 XX 的简单随机样本值. 求:
(I) θ\theta 的矩估计值;
(II) θ\theta 的最大似然估计值.
概率论提高
设 15000 件产品中有 1000 件次品,从中任取 150 件进行检测,则检测到次品数 XX 的期望 EX={EX} =‾\underline{\hspace{7.5em}}.
概率论提高
设随机变量 XX 的概率分布为 P{X=k}=Ck!(k=0,1,2,⋯)P\{ X = k\} = \frac{C}{k!}\left({k = 0,1,2,\cdots }\right)，则 E(X2)=E\left({X}^{2}\right) =‾\underline{\hspace{7.5em}}.

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