设随机变量序列 ${X}_{1}$， ${X}_{2}$， $\cdots$， ${X}_{n}$ 独立， ${X}_{i}$ 的分布律为

$$\begin{array}{c|c|c|c} {X}_{i} & - {ia} & 0 & ia \\ p & 1/2{i}^{2} & 1 - 1/{i}^{2} & 1/2{i}^{2} \end{array}$$

其中 $\mathrm{i} = 1,2,\cdots,n$,利用大数定律证明: $\mathop{\lim }\limits_{n \rightarrow \infty }P\left\{ {\left| {\frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{i = 1}^{n}{X}_{i}}\right| \geq \varepsilon }\right\} = 0$.

设 ${EX}$ 与 $E\left({X}^{2}\right)$ 均存在，则$\underline{\qquad}$.

A. $E\left({X}^{2}\right) \geq {\left(EX\right) }^{2}$
B. $E\left({X}^{2}\right) < {\left(EX\right) }^{2}$
C. $E\left({X}^{2}\right) < {EX}$
D. $E\left({X}^{2}\right) > {EX}$

设 $\left({X,Y}\right) \sim N\left({{\mu }_{1},{\mu }_{2},{\sigma }^{2},{\sigma }^{2};\rho }\right)$,若 $\frac{{3X} + Y}{2}$ 与 $\frac{X - {2Y}}{3}$ 不相关,则相关系数 $\rho =$$\underline{\hspace{7.5em}}$.

设在一批圆木中随机抽取 100 根，测其小头直径，得到样本均值为 $\bar{x} = {11.2}\mathrm{\;{cm}}$，已知标准差 $\sigma =$
2.6cm，问在显著性检验水平 $\alpha = {0.05}$ 下，该批圆木小头平均直径能否认为是在 12cm 以上？(已知 $\Phi \left({1.645}\right) = {0.95})$

某射手进行独立重复射击，每次击中目标的概率为 $p > 0$，设他在第 $X$ 次射击时首次击中目标，以 $X$ 为总体, $\left({{X}_{1},{X}_{2},\cdots,{X}_{n}}\right)$ 为 $X$ 的简单随机样本. 求:
(I) $X$ 的概率分布；
(II) 参数 $p$ 的矩估计量和最大似然估计量.

设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f\left(x\right) = \frac{1}{\pi \left({1 + {x}^{2}}\right) }$，则 $E\left({\min \{ \left| X\right|,1\} }\right) =$$\underline{\hspace{7.5em}}$.

设事件 $A,B$ 相互独立， $A,C$ 互不相容，且 $P\left(A\right) = {0.4},P\left(B\right) = {0.3},P\left(C\right) = {0.4},P\left({B \mid C}\right) = {0.2}$，求下列概率:
(I) $P\left({A \cup B}\right);$
(II) $P\left({C \mid A \cup B}\right);$
(III) $P\left({{AB} \mid \bar{C}}\right)$.

设 ${X}_{1},\cdots,{X}_{n}$ 独立同分布, ${X}_{1}$ 可取且只可取 4 个不同数值,且相应的取值概率分别为 ${p}_{1} = 1 \; - \theta,{p}_{2} = \theta - {\theta }^{2},{p}_{3} = {\theta }^{2} - {\theta }^{3},{p}_{4} = {\theta }^{3}$,记 ${N}_{i}\left({i = 1,2,3,4}\right)$ 为从总体抽取的 $n$ 个样本中出现 4 个不同数值所对应的个数.
(1) (仅数学一)确定 ${a}_{1},{a}_{2},{a}_{3},{a}_{4}$，使 $T = \mathop{\sum }\limits_{i = 1}^{4}{a}_{i}{N}_{i}$ 为 $\theta$ 的无偏估计； (仅数学三) 确定 ${a}_{1},{a}_{2},{a}_{3},{a}_{4}$,使 $E\left({\mathop{\sum }\limits_{i = 1}^{4}{a}_{i}{N}_{i}}\right) = \theta$;
(2) 若 ${N}_{i} = {n}_{i},\mathrm{i} = 1,2,3,4$，求 $\theta$ 的最大似然估计值.

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 均服从 $N\left({2,{\sigma }^{2}}\right) \left({\sigma > 0}\right)$，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立，若 $P\{ X \leq - 1\} = \frac{1}{3}$，求 $P\{ \max \left({X,Y}\right) \leq 2,\min \left({X,Y}\right) \leq - 1\}.$

若 $0 < P\left(A\right) < 1$,则 “ $P\left({AB}\right) > P\left(A\right) P\left(B\right)$ ”是 “ $P\left({B \mid A}\right) > P\left({B \mid \bar{A}}\right)$ ” 的 $\underline{\qquad}$.

A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件