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概率论与数理统计(非数)综合训练卷

命题人：阳光海岸数学

科目：概率论题数：10 道总分：选填建议用时：选填

1. 题库 #9015

概率论提高
设 X1,X2,⋯ ,Xn(n>2){X}_{1},{X}_{2},\cdots,{X}_{n}\left({n > 2}\right) 为独立同分布的随机变量,且均服从 N(0,1),Yi=Xi−Xˉ(i=1,2,⋯ ,n)N\left({0,1}\right),{Y}_{i} = {X}_{i} - \bar{X}\left({\mathrm{i} = 1,2,\cdots,n}\right)，其中 Xˉ=1n∑i=1nXi\bar{X} = \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{i = 1}^{n}{X}_{i}. 求:
(I) DYi(i=1,2,⋯n)D{Y}_{i}\left({\mathrm{i} = 1,2,\cdots n}\right);
(II) ρY1Yn{\rho }_{{Y}_{1}{Y}_{n}}.

2. 题库 #10907

概率论提高
设随机变量 X1,X2,⋯ ,Xn{X}_{1},{X}_{2},\cdots,{X}_{n} 独立同分布,记 E(Xik)=μk(k=1,2,3,4)E\left({X}_{i}^{k}\right) = {\mu }_{k}\left({k = 1,2,3,4}\right),则由切比雪夫不等式, 对任意 ε>0\varepsilon > 0,有 P{∣1n∑i=1nXi2−μ2∣≥ε}≤P\left\{ {\left| {\frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{i = 1}^{n}{X}_{i}^{2} - {\mu }_{2}}\right| \geq \varepsilon }\right\} \leq‾\underline{\qquad}.

A. μ4−μ22nε2\frac{{\mu }_{4} - {\mu }_{2}^{2}}{n{\varepsilon }^{2}}
B. μ4−μ22nε2\frac{{\mu }_{4} - {\mu }_{2}^{2}}{\sqrt{n}{\varepsilon }^{2}}
C. μ2−μ12nε2\frac{{\mu }_{2} - {\mu }_{1}^{2}}{n{\varepsilon }^{2}}
D. μ2−μ12nε2\frac{{\mu }_{2} - {\mu }_{1}^{2}}{\sqrt{n}{\varepsilon }^{2}}

3. 题库 #9063

概率论提高
设总体 X∼U(0,θ)(θ>0),(X1,X2,⋯ ,Xn)X \sim U\left({0,\theta }\right) \left({\theta > 0}\right),\left({{X}_{1},{X}_{2},\cdots,{X}_{n}}\right) 为 XX 的简单随机样本, X(n)=max⁡{X1,X2,⋯ ,Xn}{X}_{\left(n\right) } = \max \left\{ {{X}_{1},{X}_{2},\cdots,{X}_{n}}\right\}.
(I) 证明: θ^1=2Xˉ,θ^2=n+1nX(n){\widehat{\theta }}_{1} = 2\bar{X},{\widehat{\theta }}_{2} = \frac{n + 1}{n}{X}_{\left(n\right) } 是 θ\theta 的无偏估计;
(II) 当 n≥2n \geq 2 时, θ^1{\widehat{\theta }}_{1} 和 θ^2{\widehat{\theta }}_{2} 哪一个有效?

4. 题库 #9042

概率论基础
设 X∼t(n),Y∼F(1,n)X \sim t\left(n\right),Y \sim F\left({1,n}\right),给定 α(0<α<0.5)\alpha \left({0 < \alpha < {0.5}}\right),常数 kk 满足 P{X>k}=αP\{ X > k\} = \alpha,则 P{Y>k2}=P\left\{ {Y > {k}^{2}}\right\} =‾\underline{\hspace{7.5em}}.

5. 题库 #8898

概率论基础
某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p(0<p<1)p\left({0 < p < 1}\right)，则此人第 6 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为‾\underline{\hspace{7.5em}}.

6. 题库 #8972

概率论提高
设 D={(x,y)∣0≤x≤a,0≤y≤a}D = \{ \left({x,y}\right) \mid 0 \leq x \leq a,0 \leq y \leq a\},向 DD 上均匀地投掷随机点, (X,Y)\left({X,Y}\right) 表示随机点的坐标, 0<b<  a0 < b < \; a,则 P{∣X−Y∣≤b}−P{min⁡(X,Y)≤b}=P\{ \left| {X - Y}\right| \leq b\} - P\{ \min \left({X,Y}\right) \leq b\} =‾\underline{\hspace{7.5em}}.

7. 题库 #10906

概率论提高
设随机变量 (X,Y)\left({X,Y}\right) 服从二维正态分布 N(0,0;1,4;−12)N\left({0,0;1,4; - \frac{1}{2}}\right),则下列随机变量中服从标准正态分布且与 XX 独立的是‾\underline{\qquad}.

A. 55(X+Y)\frac{\sqrt{5}}{5}\left({X + Y}\right)
B. 55(X−Y)\frac{\sqrt{5}}{5}\left({X - Y}\right)
C. 33(X+Y)\frac{\sqrt{3}}{3}\left({X + Y}\right)
D. 33(X−Y)\frac{\sqrt{3}}{3}\left({X - Y}\right)

8. 题库 #10863

概率论提高
设 X,YX,Y 为连续型随机变量,且 P{X≥0,Y≥0}=37,P{X≥0}=P{Y≥0}=47P\{ X \geq 0,Y \geq 0\} = \frac{3}{7},P\{ X \geq 0\} = P\{ Y \geq 0\} = \frac{4}{7},求下列事件的概率:
(1) A={max⁡{X,Y}≥0}A = \{ \max \{ X,Y\} \geq 0\};
(2) B={max⁡{X,Y}≥0,min⁡{X,Y}<0}B = \{ \max \{ X,Y\} \geq 0,\min \{ X,Y\} < 0\}.

9. 题库 #8913

概率论提高
有 3 个盒子, 第一个盒子中有 3 个黑球、 1 个白球, 第二个盒子中有 2 个黑球、 3 个白球, 第三个盒子中有 3 个黑球、 2 个白球.
(I) 任取一个盒子, 再从该盒子中取出一个球, 求这个球是白球的概率;
(II) 已知取出的是白球, 求此球属于第三个盒子的概率.

10. 题库 #8887

概率论基础
对任意两个事件 AA 和 BB，若 P(AB)=0P\left({AB}\right) = 0，则‾\underline{\qquad}.

A. P(A)P(B)=0P\left(A\right) P\left(B\right) = 0
B. P(A−B)=P(A)P\left({A - B}\right) = P\left(A\right)
C. AB‾=∅\overline{AB} = \varnothing
D. AB=∅{AB} = \varnothing

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概率论提高
设连续型随机变量 X1{X}_{1}， X2{X}_{2} 的概率密度分别为 f1(x){f}_{1}\left(x\right)， f2(x){f}_{2}\left(x\right)，分布函数分别为 F1(x){F}_{1}\left(x\right)， F2(x){F}_{2}\left(x\right)，记
g1(x)=f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x),  g2(x)=f1(x)F1(x)+f2(x)F2(x), {g}_{1}\left(x\right) = {f}_{1}\left(x\right) {F}_{2}\left(x\right) + {f}_{2}\left(x\right) {F}_{1}\left(x\right),\;{g}_{2}\left(x\right) = {f}_{1}\left(x\right) {F}_{1}\left(x\right) + {f}_{2}\left(x\right) {F}_{2}\left(x\right),
g3(x)=12[f1(x)+f2(x)],  g4(x)=f1(x)f2(x), {g}_{3}\left(x\right) = \frac{1}{2}\left\lbrack {{f}_{1}\left(x\right) + {f}_{2}\left(x\right) }\right\rbrack,\;{g}_{4}\left(x\right) = \sqrt{{f}_{1}\left(x\right) {f}_{2}\left(x\right) },
则 g1(x),g2(x),g3(x),g4(x){g}_{1}\left(x\right),{g}_{2}\left(x\right),{g}_{3}\left(x\right),{g}_{4}\left(x\right) 这 4 个函数中一定能作为概率密度的共有‾\underline{\qquad}个.

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
概率论基础
下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数的是 ‾\underline{\qquad}.

A. F(x)=11+x2F\left(x\right) = \frac{1}{1 + {x}^{2}}
B. F(x)=1πarctan⁡x+12F\left(x\right) = \frac{1}{\pi }\arctan x + \frac{1}{2}
C. F(x)={12(1−e−x),x>0,0,x≤0F\left(x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2}\left({1 - {\mathrm{e}}^{-x}}\right), & x > 0, \\ 0, & x \leq 0 \end{array}\right.
D. F(x)=∫−∞xf(t)dtF\left(x\right) = {\int }_{-\infty }^{x}f\left(t\right) {dt},且 ∫−∞+∞f(t)dt=1{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(t\right) {dt} = 1
概率论提高
设随机变量序列 X1,X2,⋯ ,Xn,⋯{X}_{1},{X}_{2},\cdots,{X}_{n},\cdots 独立同分布,且 X1{X}_{1} 的概率密度为 f(x)={1−∣x∣,∣x∣<1,0, 其他, f\left(x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 - \left| x\right|, & \left| x\right| < 1, \\ 0, & \text{ 其他, } \end{array}\right. 则当 n→∞n \rightarrow \infty 时, 1n∑i=1nXi2\frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{i = 1}^{n}{X}_{i}^{2} 依概率收敛于‾\underline{\qquad}.

A. 18\frac{1}{8}
B. 16\frac{1}{6}
C. 13\frac{1}{3}
D. 12\frac{1}{2}
概率论提高
设 f(x)f\left(x\right) 为随机变量 XX 的概率密度,则下列选项可作为某一随机变量的概率密度的是‾\underline{\qquad}.

A. f(1−x)f\left({1 - x}\right)
B. f(x2)f\left(\frac{x}{2}\right)
C. f(x2)f\left({x}^{2}\right)
D. f2(x){f}^{2}\left(x\right)

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