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概率论与数理统计综合训练卷

命题人：阳光海岸数学

科目：概率论与数理统计题数：10 道总分：选填建议用时：选填

1. 题库 #9155

概率论与数理统计提高
设 (X,Y)\left({X,Y}\right) 服从区域 G={(x,y)∣0≤x≤2,0≤y≤1}G = \{ \left({x,y}\right) \mid 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 1\} 上的均匀分布,求 Z=XYZ = {XY} 的分布函数与概率密度.

2. 题库 #9165

概率论与数理统计提高
设 D={(x,y)∣0≤x≤a,0≤y≤a}D = \{ \left({x,y}\right) \mid 0 \leq x \leq a,0 \leq y \leq a\},向 DD 上均匀地投掷随机点, (X,Y)\left({X,Y}\right) 表示随机点的坐标, 0<b<  a0 < b < \; a,则 P{∣X−Y∣≤b}−P{min⁡(X,Y)≤b}=P\{ \left| {X - Y}\right| \leq b\} - P\{ \min \left({X,Y}\right) \leq b\} =‾\underline{\hspace{7.5em}}.

3. 题库 #9253

概率论与数理统计基础
设总体 X∼B(1,p)X \sim B\left({1,p}\right)，参数 p∈[14,34]p \in \left\lbrack {\frac{1}{4},\frac{3}{4}}\right\rbrack，样本容量为 1，求 pp 的最大似然估计值.

4. 题库 #9137

概率论与数理统计提高
设随机变量 XX 服从参数为 λ(λ>0)\lambda \left({\lambda > 0}\right) 的指数分布. Y={X,∣X∣≤1,−X,∣X∣>1,Y = \left\{ \begin{array}{ll} X, & \left| X\right| \leq 1, \\ - X, & \left| X\right| > 1, \end{array}\right. 则 P{Y≤14}=P\left\{ {Y \leq \frac{1}{4}}\right\} =‾\underline{\hspace{7.5em}}.

5. 题库 #9138

概率论与数理统计提高
设随机变量 XX 服从 λ=2\lambda = 2 的指数分布,求 Y=1−e−2XY = 1 - {\mathrm{e}}^{-{2X}} 的分布函数和概率密度.

6. 题库 #9177

概率论与数理统计基础
设 EX{EX} 与 E(X2)E\left({X}^{2}\right) 均存在，则‾\underline{\qquad}.

A. E(X2)≥(EX)2E\left({X}^{2}\right) \geq {\left(EX\right) }^{2}
B. E(X2)<(EX)2E\left({X}^{2}\right) < {\left(EX\right) }^{2}
C. E(X2)<EXE\left({X}^{2}\right) < {EX}
D. E(X2)>EXE\left({X}^{2}\right) > {EX}

7. 题库 #10954

概率论与数理统计提高
设随机变量 XX 的分布函数 FX(x){F}_{X}\left(x\right) 是严格单调增加函数,其反函数 FX−1(y){F}_{X}^{-1}\left(y\right) 存在, Y=FX(X)Y = {F}_{X}\left(X\right). 证明: YY 服从区间 (0,1)\left({0,1}\right) 上的均匀分布.

8. 题库 #9188

概率论与数理统计基础
设二维随机变量 (X,Y)\left({X,Y}\right) 的概率密度为 f(x,y)={xe−x(1+y),x>0,y>0,0, 其他, f\left({x,y}\right) = \left\{ \begin{array}{ll} x{e}^{-x\left({1 + y}\right) }, & x > 0,y > 0, \\ 0, & \text{ 其他, } \end{array}\right. 则 P{X>2∣X>EX}=P\{ X > 2 \mid X > {EX}\} =‾\underline{\hspace{7.5em}}.

9. 题库 #9240

概率论与数理统计提高
设 (X1,X2,⋯ ,Xn,Xn+1)\left({{X}_{1},{X}_{2},\cdots,{X}_{n},{X}_{n + 1}}\right) 为总体 X∼N(μ,σ2)X \sim N\left({\mu,{\sigma }^{2}}\right) 的简单随机样本，记 Xˉ=1n∑i=1nXi,S2=\bar{X} = \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{i = 1}^{n}{X}_{i},{S}^{2} =
1n−1∑i=1n(Xi−Xˉ)2,Y=n(n+1)σ2⋅(Xn+1−Xˉ)2,T=k(Xn+1−Xˉ)2S2.\frac{1}{n - 1}\mathop{\sum }\limits_{i = 1}^{n}{\left({X}_{i} - \bar{X}\right) }^{2},Y = \frac{n}{\left({n + 1}\right) {\sigma }^{2}} \cdot {\left({X}_{n + 1} - \bar{X}\right) }^{2},T = \frac{k{\left({X}_{n + 1} - \bar{X}\right) }^{2}}{{S}^{2}}.
(I) 求 EY{EY} 和 DY{DY};
(II) 若 TT 服从 FF 分布,求 kk 的值.

10. 题库 #9223

概率论与数理统计基础
设 XX 与 YY 满足: EX=−2,EY=2,DX=1,DY=4,ρXY=−12{EX} = - 2,{EY} = 2,{DX} = 1,{DY} = 4,{\rho }_{XY} = - \frac{1}{2}，则根据切比雪夫不等式，有 P{∣X+Y∣≥6}≤P\{ \left| {X + Y}\right| \geq 6\} \leq‾\underline{\hspace{7.5em}}.

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概率论与数理统计基础
设 X∼N(0,1),Y∼N(1,4)X \sim N\left({0,1}\right),Y \sim N\left({1,4}\right),且 ρXY=1{\rho }_{XY} = 1,则‾\underline{\qquad}.

A. P{Y=2X+1}=1P\{ Y = {2X} + 1\} = 1
B. P{Y=−2X+1}=1P\{ Y = - {2X} + 1\} = 1
C. P{Y=−2X−1}=1P\{ Y = - {2X} - 1\} = 1
D. P{Y=2X−1}=1P\{ Y = {2X} - 1\} = 1
概率论与数理统计提高
设随机变量 XX 服从参数为 λ\lambda 的指数分布, Y=[X],Z={X}Y = \left\lbrack X\right\rbrack,Z = \{ X\} 分别是 XX 的整数部分和小数部分. 求 EY{EY} 和 EZ{EZ}.
概率论与数理统计提高
设总体 XX 的概率密度为 f(x;θ)={3x2θ3,0≤x≤θ,0, 其他, θ>0f\left({x;\theta }\right) = \left\{ {\begin{array}{ll} \frac{3{x}^{2}}{{\theta }^{3}}, & 0 \leq x \leq \theta, \\ 0, & \text{ 其他, } \end{array}\theta > 0}\right. 为未知参数， (X1,X2,⋯ ,Xn)\left({{X}_{1},{X}_{2},\cdots,{X}_{n}}\right) 为 XX 的简单随机样本, Xˉ=1n∑i=1nXi,Yn=max⁡{X1,X2,⋯ ,Xn}\bar{X} = \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{i = 1}^{n}{X}_{i},{Y}_{n} = \max \left\{ {{X}_{1},{X}_{2},\cdots,{X}_{n}}\right\},证明: 3n+13nYn\frac{{3n} + 1}{3n}{Y}_{n} 与 43Xˉ\frac{4}{3}\bar{X} 都是 θ\theta 的无偏估计量.
概率论与数理统计提高
设随机变量 XX 与 YY 相互独立， XX 服从二项分布 B(4,12)B\left({4,\frac{1}{2}}\right)， YY 服从 λ=1\lambda = 1 的泊松分布，则概率 P{1<  max⁡{X,Y}≤3}=P\{ 1 < \; \max \{ X,Y\} \leq 3\} =‾\underline{\hspace{7.5em}}.

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