设连续型随机变量 $X$ 的概率密度为 $f\left(x\right)$，求 $Y = \sin X$ 的分布函数和概率密度.

设连续型随机变量 $X\left({ \geq 0}\right)$ 的分布函数为 $F\left(x\right)$,且 ${EX}$ 存在,则 ${EX} =$$\underline{\qquad}$.

A. ${\int }_{0}^{+\infty }F\left(x\right) \mathrm{d}x$
B. ${\int }_{0}^{+\infty }{F}^{2}\left(x\right) \mathrm{d}x$
C. ${\int }_{0}^{+\infty }\left\lbrack {1 - F\left(x\right) }\right\rbrack \mathrm{d}x$
D. ${\int }_{0}^{+\infty }\left\lbrack {1 + F\left(x\right) }\right\rbrack \mathrm{d}x$

设 ${X}_{1},{X}_{2},\cdots,{X}_{n}$ 相互独立同分布,其相同的概率密度为 $f\left(x\right) = \left\{ {\begin{array}{ll} 2{\mathrm{e}}^{-2\left({x - \theta }\right) }, & x > \theta, \\ 0, & x \leq \theta \end{array}\text{ (}\theta }\right.$ 为常数), 求 $Z = \mathop{\min }\limits_{1 \leq i \leq n}\left\{ {X}_{i}\right\}$ 的数学期望.

设二维随机变量 $\left({X,Y}\right)$ 在 $D = \{ \left({x,y}\right) \mid 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 1\}$ 上服从均匀分布,令 $U = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & X \leq Y, \\ 1, & X > Y, \end{array}\right. V \; = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & X \leq {2Y}, \\ 1, & X > {2Y}, \end{array}\right.$ 求 $\left({U,V}\right)$ 的联合分布律,并判别 $U$ 与 $V$ 是否相互独立.

已知 10 部手机中有 7 个合格品和 3 个次品，每次任取一个作测试，测试后不放回，直到将 3 个次品都找到为止，则需要测试 7 次的概率为$\underline{\hspace{7.5em}}$.

设甲盒中有 4 个红球和 2 个白球，乙盒中有 2 个红球和 4 个白球，掷一枚均匀的硬币，若正面出现， 则从甲盒中任取一球, 若反面出现, 则从乙盒中任取一球, 设每次取出的球观看颜色后放回原盒中.
(I) 若前两次都取得红球, 求第三次也取得红球的概率;
(II) 若前两次都取得红球, 求红球都来自甲盒的概率.

设 $X \sim N\left({0,1}\right)$， $Y = {X}^{2} + X + 1$，则 $X$ 与 $Y$$\underline{\qquad}$.

A. 相关且相互不独立
B. 相关且相互独立
C. 不相关且相互独立
D. 不相关且相互不独立

设当事件 $A$ 与 $B$ 同时发生时,事件 $C$ 必发生,则$\underline{\qquad}$.

A. $P\left(C\right) = P\left({AB}\right)$
B. $P\left(C\right) = P\left({A \cup B}\right)$
C. $P\left(C\right) \leq P\left(A\right) + P\left(B\right) - 1$
D. $P\left(C\right) \geq P\left(A\right) + P\left(B\right) - 1$

设自动机床在任何时长为 $t$ 的时间间隔内发生故障的次数 $X$ 服从参数为 ${\lambda t}$ 的泊松分布， $Y$ 表示相继两次故障之间的时间间隔，则当 $t > 0$ 时， $P\{ Y > t\} =$$\underline{\hspace{7.5em}}$.

设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布,记 $Y = \max \left({X,\frac{1}{X}}\right)$,求 $Y$ 的分布函数.