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概率论与数理统计(非数)综合训练卷

命题人：阳光海岸数学

科目：概率论题数：10 道总分：选填建议用时：选填

1. 题库 #8958

概率论提高
设二维随机变量 (X,Y)\left({X,Y}\right) 的概率密度为 f(x,y)={xe−y,0<x<y<+∞,0, 其他. f\left({x,y}\right) = \left\{ \begin{array}{ll} x{e}^{-y}, & 0 < x < y < + \infty, \\ 0, & \text{ 其他. } \end{array}\right. 求:
(I) XX 与 YY 的边缘概率密度,并判别 XX 与 YY 是否相互独立；
(II) (X,Y)\left({X,Y}\right) 的分布函数 F(x,y)F\left({x,y}\right);
(III) Z=X+YZ = X + Y 的概率密度 fZ(z){f}_{Z}\left(z\right).

2. 题库 #9035

概率论提高
设随机变量序列 X1{X}_{1}， X2{X}_{2}， ⋯\cdots， Xn{X}_{n} 独立， Xi{X}_{i} 的分布律为

Xi−ia0iap1/2i21−1/i21/2i2\begin{array}{c|c|c|c} {X}_{i} & - {ia} & 0 & ia \\ p & 1/2{i}^{2} & 1 - 1/{i}^{2} & 1/2{i}^{2} \end{array}

其中 i=1,2,⋯ ,n\mathrm{i} = 1,2,\cdots,n,利用大数定律证明: lim⁡n→∞P{∣1n∑i=1nXi∣≥ε}=0\mathop{\lim }\limits_{n \rightarrow \infty }P\left\{ {\left| {\frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{i = 1}^{n}{X}_{i}}\right| \geq \varepsilon }\right\} = 0.

3. 题库 #9075

概率论基础
设 X1{X}_{1}， X2{X}_{2}， ⋯\cdots， Xn{X}_{n} 为来自总体 X∼N(μ,1)X \sim N\left({\mu,1}\right) 的简单随机样本， Xˉ\bar{X} 为样本均值，对于假设检验 H0:μ=  μ0{H}_{0}: \mu = \; {\mu }_{0},若取拒绝域 Ra={Xˉ>μ0+1.96n},Φ(x){R}_{a} = \left\{ {\bar{X} > {\mu }_{0} + \frac{1.96}{\sqrt{n}}}\right\},\Phi \left(x\right) 为 N(0,1)N\left({0,1}\right) 的分布函数，则该检验犯第一类错误的概率 α\alpha 为‾\underline{\qquad}.

A. 1−Φ(0.04)1 - \Phi \left({0.04}\right)
B. 1−Φ(0.05)1 - \Phi \left({0.05}\right)
C. 1−Φ(1.96)1 - \Phi \left({1.96}\right)
D. 1−Φ(1)1 - \Phi \left(1\right)

4. 题库 #8973

概率论提高
在区间 [0,1]\left\lbrack {0,1}\right\rbrack 上随机地掷两点,求这两点间距离的概率密度.

5. 题库 #8928

概率论提高
设随机变量 XX 服从参数为 λ\lambda 的指数分布,对 XX 进行三次独立重复观察,至少有一次观测值大于 3 的概率为 2627\frac{26}{27},求 λ\lambda 的值.

6. 题库 #8912

概率论提高
设一批产品中有 15\% 的次品，进行独立重复抽样检验，若抽取 20 个样品，则抽出的 20 个样品中， 可能性最大的次品数是多少? 并求其概率.

7. 题库 #8947

概率论提高
设随机变量 XX 的概率密度为 f(x)={12πex22,x≤0,e−2x,x>0,f\left(x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{\frac{{x}^{2}}{2}}, & x \leq 0, \\ {\mathrm{e}}^{-{2x}}, & x > 0, \end{array}\right. 求 Y=X2Y = {X}^{2} 的分布函数和概率密度(可用 φ(x)\varphi \left(x\right) 和 Φ(x)\Phi \left(x\right) 表示).

8. 题库 #8954

概率论提高
设二维随机变量 (X,Y)\left({X,Y}\right) 的联合分布律为

X/Y01−13/169/1611/163/16\begin{array}{c|c|c} X/Y & 0 & 1 \\ - 1 & 3/16 & 9/16 \\ 1 & 1/16 & 3/16 \end{array}
(I) 求 P{min⁡{X,Y}≥0}P\{ \min \{ X,Y\} \geq 0\};
(II) 问 XX 与 YY 是否相互独立? 说明理由.

9. 题库 #8921

概率论基础
设随机变量 XX 服从参数为 λ(λ>0)\lambda \left({\lambda > 0}\right) 的指数分布,则 P{X>16∣X>8}=P\{ X > {16} \mid X > 8\} =‾\underline{\hspace{7.5em}}.

10. 题库 #9048

概率论提高
设随机变量 XX 与 YY 相互独立, X∼N(0,σ2)(σ>0),YX \sim N\left({0,{\sigma }^{2}}\right) \left({\sigma > 0}\right),Y 的分布律为 P{Y=−1}=a,P{Y=1}=1−  a(0<a<1)P\{ Y = - 1\} = a,P\{ Y = 1\} = 1 - \; a\left({0 < a < 1}\right),记 Z=XYZ = {XY}.
(I) 求 ZZ 的概率密度 fZ(z){f}_{Z}\left(z\right);
(II) 当 aa 为何值时, XX 与 ZZ 不相关;
(III) 若 Z1,Z2,⋯ ,Zn{Z}_{1},{Z}_{2},\cdots,{Z}_{n} 为来自总体 ZZ 的简单随机样本, Zˉ\bar{Z} 为样本均值, S2{S}^{2} 为样本方差,记 T=Zˉ2−S2T = {\bar{Z}}^{2} - {S}^{2},求 DT{DT}.

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概率论基础
设 P(A)>0,P(B)>0,P(A∣B)=P(A)P\left(A\right) > 0,P\left(B\right) > 0,P\left({A \mid B}\right) = P\left(A\right)，则下列选项中不正确的是‾\underline{\qquad}.

A. AA 与 BB 互不相容
B. AA 与 BB 相容
C. P(B∣A)=P(B)P\left({B \mid A}\right) = P\left(B\right)
D. P(Aˉ∣Bˉ)=P(Aˉ)P\left({\bar{A} \mid \bar{B}}\right) = P\left(\bar{A}\right)
概率论提高
有 3 个盒子, 第一个盒子中有 3 个黑球、 1 个白球, 第二个盒子中有 2 个黑球、 3 个白球, 第三个盒子中有 3 个黑球、 2 个白球.
(I) 任取一个盒子, 再从该盒子中取出一个球, 求这个球是白球的概率;
(II) 已知取出的是白球, 求此球属于第三个盒子的概率.
概率论基础
在 1 ～ 100 的整数中随机地取一个数，则取到的整数既不能被 2 整除，又不能被 3 整除的概率为‾\underline{\hspace{7.5em}}.
概率论提高
设二维随机变量 (X,Y)\left({X,Y}\right) 在 D={(x,y)∣0≤x≤2,0≤y≤1}D = \{ \left({x,y}\right) \mid 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 1\} 上服从均匀分布,令 U={0,X≤Y,1,X>Y,V  ={0,X≤2Y,1,X>2Y,U = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & X \leq Y, \\ 1, & X > Y, \end{array}\right. V \; = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & X \leq {2Y}, \\ 1, & X > {2Y}, \end{array}\right. 求 (U,V)\left({U,V}\right) 的联合分布律,并判别 UU 与 VV 是否相互独立.

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