设 ${X}_{1}$， ${X}_{2}$， $\cdots$， ${X}_{n}$ 为来自总体 $X \sim N\left({\mu,1}\right)$ 的简单随机样本， $\bar{X}$ 为样本均值，对于假设检验 ${H}_{0}: \mu = \; {\mu }_{0}$,若取拒绝域 ${R}_{a} = \left\{ {\bar{X} > {\mu }_{0} + \frac{1.96}{\sqrt{n}}}\right\},\Phi \left(x\right)$ 为 $N\left({0,1}\right)$ 的分布函数，则该检验犯第一类错误的概率 $\alpha$ 为$\underline{\qquad}$.

A. $1 - \Phi \left({0.04}\right)$
B. $1 - \Phi \left({0.05}\right)$
C. $1 - \Phi \left({1.96}\right)$
D. $1 - \Phi \left(1\right)$

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立,其中 $X$ 的概率密度为 $f\left(x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} x, & 0 \leq x < 1, \\ 2 - x, & 1 \leq x < 2, \\ 0, & \text{ 其他, } \end{array}\right.$，$Y$ 服从参数为 $1$ 的指数分布. $F\left(x\right)$ 为 $X$ 的分布函数,记 $Z = F(X) + Y$.
(I) 求 $F(X)$ 的分布函数与概率密度;
(II) 求 $Z$ 的概率密度 ${f}_{Z}\left(z\right)$.

在 1 ～ 100 的整数中随机地取一个数，则取到的整数既不能被 2 整除，又不能被 3 整除的概率为$\underline{\hspace{7.5em}}$.

设连续型随机变量 ${X}_{1}$， ${X}_{2}$ 的概率密度分别为 ${f}_{1}\left(x\right)$， ${f}_{2}\left(x\right)$，分布函数分别为 ${F}_{1}\left(x\right)$， ${F}_{2}\left(x\right)$，记
$${g}_{1}\left(x\right) = {f}_{1}\left(x\right) {F}_{2}\left(x\right) + {f}_{2}\left(x\right) {F}_{1}\left(x\right),\;{g}_{2}\left(x\right) = {f}_{1}\left(x\right) {F}_{1}\left(x\right) + {f}_{2}\left(x\right) {F}_{2}\left(x\right),$$
$${g}_{3}\left(x\right) = \frac{1}{2}\left\lbrack {{f}_{1}\left(x\right) + {f}_{2}\left(x\right) }\right\rbrack,\;{g}_{4}\left(x\right) = \sqrt{{f}_{1}\left(x\right) {f}_{2}\left(x\right) },$$
则 ${g}_{1}\left(x\right),{g}_{2}\left(x\right),{g}_{3}\left(x\right),{g}_{4}\left(x\right)$ 这 4 个函数中一定能作为概率密度的共有$\underline{\qquad}$个.

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

设随机变量 $X$ 满足 $\left| X\right| \leq 1,P\{ X = - 1\} = P\{ X = 1\} = \frac{1}{4}$,当 $\left| X\right| < 1$ 时, $X$ 服从 $\left({-1,1}\right)$ 上的均匀分布, $Y$ 服从参数为 1 的指数分布, $X,Y$ 独立,令 $Z = X + Y$. 求:
(1) $X$ 的分布函数 ${F}_{X}\left(x\right)$；
(2) $Z$ 的分布函数 ${F}_{Z}\left(z\right)$.

设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f\left(x\right) = \frac{{\mathrm{e}}^{x}}{{\left(1 + {\mathrm{e}}^{x}\right) }^{2}}, - \infty < x < + \infty$,令 $Y = {\mathrm{e}}^{X}$.
(1) 求 $X$ 的分布函数；
(2) 求 $Y$ 的概率密度.

设 $f\left(x\right)$ 为随机变量 $X$ 的概率密度,且 $f\left({1 - x}\right) = f\left({1 + x}\right),{\int }_{1}^{2}f\left(x\right) \mathrm{d}x = {0.4},X$ 的分布函数为 $F\left(x\right)$, 则 $F\left(0\right) =$$\underline{\qquad}$.

A.
0.1
B.
0.2
C.
0.3
D.
0.4

设甲盒中有 4 个红球和 2 个白球，乙盒中有 2 个红球和 4 个白球，掷一枚均匀的硬币，若正面出现， 则从甲盒中任取一球, 若反面出现, 则从乙盒中任取一球, 设每次取出的球观看颜色后放回原盒中.
(I) 若前两次都取得红球, 求第三次也取得红球的概率;
(II) 若前两次都取得红球, 求红球都来自甲盒的概率.

设总体 $X$ 的分布函数为 $F\left({x;\theta }\right) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 - {\mathrm{e}}^{-\frac{{x}^{2}}{\theta }}, & x \geq 0, \\ 0, & x < 0, \end{array}\right.$ 其中 $\theta$ 是未知参数且大于零, ${X}_{1},{X}_{2}$, $\cdots,{X}_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本.
(1) 求 ${EX}$ 与 $E\left({X}^{2}\right)$；
(2) 求 $\theta$ 的最大似然估计量 $\widehat{\theta }$；
(3) 是否存在实数 $a$,使得对任何 $\varepsilon > 0$,都有 $\mathop{\lim }\limits_{n \rightarrow \infty }P\{ \left| {\widehat{\theta } - a}\right| \geq \varepsilon \} = 0$ ?

设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda \left({\lambda > 0}\right)$ 的指数分布. $Y = \left\{ \begin{array}{ll} X, & \left| X\right| \leq 1, \\ - X, & \left| X\right| > 1, \end{array}\right.$ 则 $P\left\{ {Y \leq \frac{1}{4}}\right\} =$$\underline{\hspace{7.5em}}$.