组卷台

(证明 $\text{ § }4$ 的定理 1) 设 $H$ 是可分希尔伯特空间, $\tau$ 是 $\mathcal{F}\left( H\right)$ 上的迹.

设 $V$ 是 $H$ 中的 $n$ 维子空间, $P$ 是 $H$ 到 $V$ 的正交投影算子. 证明: $\tau \left( P\right) = n$ ;

设 $T \in \mathcal{F}\left( H\right) ,B \in \mathcal{B}\left( H\right)$ . 证明: $\tau \left( {TB}\right) = \tau \left( {BT}\right)$ .

设 $X$ 为赋范线性空间, ${f}_{1},{f}_{2}$ 为 $X$ 上的两个非零线性泛函. 若 $\mathcal{N}\left( {f}_{1}\right) = \mathcal{N}\left( {f}_{2}\right)$ , 则存在一个常数 $c \neq 0$ 使得 ${f}_{1} = c{f}_{2}$ .

线性泛函列 $\left\{ {F}_{n}\right\}$ 定义为 ${F}_{n}\left( f\right) = {\int }_{a}^{b}f\left( t\right) \sin {nt}\mathrm{\;d}t,f \in {L}^{p}\left\lbrack {a,b}\right\rbrack ,n = 1,2,\cdots$ , $p \in \lbrack 1,\infty )$ . 证明: ${F}_{n}$ 弱* 收敛于
0 .

设 $H$ 为希尔伯特空间, $T \in \mathcal{B}\left( H\right)$ 且 $\parallel T\parallel \leq 1$ . 证明:

$$\{ x \in H : {Tx} = x\} = \left\{ {x \in H : {T}^{ * }x = x}\right\} .$$

设 $A$ 是希尔伯特空间 $H$ 上的自伴算子且满足条件:

$$\text{ 对任意 }x \in H,\langle {Ax},x\rangle \geq 0;\langle {Ax},x\rangle = 0 \Rightarrow x = 0\text{ . }$$

设 $X$ 是 $n$ 维线性空间, $\left\{ {{e}_{1},{e}_{2},\cdots ,{e}_{n}}\right\}$ 是 $X$ 的一组基,证明 $\langle x,y\rangle$ 成为 $X$ 上内积的充要条件是存在 $n$ 阶正定矩阵 $A = \left( {a}_{ij}\right)$ ,使得

$$\left\langle {\mathop{\sum }\limits_{j = 1}^{n}{x}_{j}{e}_{j},\mathop{\sum }\limits_{j = 1}^{n}{y}_{j}{e}_{j}}\right\rangle = \mathop{\sum }\limits_{i,j = 1}^{n}{a}_{ij}{x}_{i}\overline{{y}_{j}}.$$

设 $\Omega$ 是平面上有界的 $L$ 可测集,以 ${L}^{2}\left( \Omega \right)$ 表示 $\Omega$ 上关于平面 $L$ 测度的平方可积函数全体. 对每个 $f \in {L}^{2}\left( \Omega \right)$ ,定义

$$\left( {Tf}\right) \left( z\right) = {zf}\left( z\right) \text{ ,对任意 }z \in \Omega \text{ . }$$

设 ${a}_{ij}\left( {i,j = 1,2,\cdots ,n}\right)$ 为一组实数,使得 $\mathop{\sum }\limits_{{{ij} = 1}}^{n}{\left( {a}_{ij} - {\delta }_{ij}\right) }^{2} < 1$ ,其中 ${\delta }_{ij} = \; 1,i = j;{\delta }_{ij} = 0,i \neq j$ . 证明: 代数方程组

$$\left\{ \begin{array}{l} {a}_{11}{x}_{1} + {a}_{12}{x}_{2} + \cdots + {a}_{1n}{x}_{n} = {b}_{1}, \\ {a}_{21}{x}_{1} + {a}_{22}{x}_{2} + \cdots + {a}_{2n}{x}_{n} = {b}_{2}, \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ {a}_{n1}{x}_{1} + {a}_{n2}{x}_{2} + \cdots + {a}_{nn}{x}_{n} = {b}_{n} \end{array}\right.$$

对任何一组固定的数 ${b}_{1},{b}_{2},\cdots ,{b}_{n}$ 必有唯一的解 ${x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}$ .

设 $X = C\left\lbrack {a,b}\right\rbrack ,X$ 上的范数定义为 $\parallel f\parallel = \mathop{\max }\limits_{a \leq t \leq b}\left| {f\left( t\right) }\right| ,f \in X$ . 定义 $X$ 到 $X$ 的

线性算子 $T$ 为

$$\left( {Tf}\right) \left( t\right) = {\int }_{a}^{t}f\left( x\right) \mathrm{d}x,\;\text{ 任意 }f \in X,t \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack .$$

设 $X$ 是巴拿赫空间, $Y$ 是赋范线性空间, $T \in \mathcal{B}\left( {X,Y}\right)$ . 若有正常数 $m$ 使得 $\parallel {Tx}\parallel \geq m\parallel x\parallel$ ,任意 $x \in X$ ,证明: $\mathcal{R}\left( T\right)$ 是 $Y$ 中的闭集.