设 $A$ 是 4 阶矩阵,且其伴随矩阵 ${A}^{ * }$ 的特征值为 $1, - 1, - 2,4$,则 $\left| {{A}^{3} + 2{A}^{2} - A - {3E}}\right| =$$\underline{\hspace{7.5em}}$.

设4维列向量 ${\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3}$ 线性无关， ${\beta }_{i}\left({i = 1,2,3,4}\right)$ 为非零列向量，且 ${\beta }_{i}$ 与 ${\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3}$ 均正交，则 $r\left({{\beta }_{1},{\beta }_{2},{\beta }_{3},{\beta }_{4}}\right) = \left(\;\right).$

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

设 $A,B$ 为 $n$ 阶矩阵,证明 $\operatorname{rank}\left( {A + B}\right) = \operatorname{rank}\left( A\right) + \operatorname{rank}\left( B\right)$ 的充分必要条件是存在可逆矩阵 $\mathbf{P},\mathbf{Q}$ 使得

$$\mathbf{PAQ} = \left( \begin{matrix} {\mathbf{I}}_{r} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} \end{matrix}\right) ,\mathbf{PBQ} = \left( \begin{array}{ll} \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & {\mathbf{I}}_{s} \end{array}\right) ,.$$

其中 $r,s$ 分别是 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 的秩, ${\mathbf{I}}_{r},{\mathbf{I}}_{s}$ 分别是 $r,s$ 阶单位矩阵, $r + s \leq n$ .

设三个不同平面的方程为 ${a}_{i1}x + {a}_{i2}y + {a}_{i3}z = {b}_{i}\left({\mathrm{i} = 1,2,3}\right)$ 相交于一条直线,三个平面方程组成方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为 $A$ 和 $\bar{A}$,则$\underline{\qquad}$.

A. $r\left(A\right) = 2,r\left(\bar{A}\right) = 2$
B. $r\left(A\right) = 2,r\left(\bar{A}\right) = 3$
C. $r\left(A\right) = 1,r\left(\bar{A}\right) = 2$
D. $r\left(A\right) = 1,r\left(\bar{A}\right) = 1$

设三阶矩阵 $A$ 与 $B$ 乘积可交换, ${\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3}$ 是线性无关的三维列向量,且满足

$$A{\alpha }_{1} = {\alpha }_{1} + {\alpha }_{2} + {\alpha }_{3},A{\alpha }_{2} = {\alpha }_{3},A{\alpha }_{3} = 2{\alpha }_{2} + {\alpha }_{3}.$$

证明 $\mathbf{B}$ 与对角矩阵相似.

设矩阵 $X$ 满足 $\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 2 \end{array}\right) X = \left(\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array}\right)$,求 $X$.

设 $A,B$ 均是 $n$ 阶矩阵.
(I) 证明: ${AB}$ 与 ${BA}$ 有相同的特征值;
(II) 若 ${AB} = {BA}$,且 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值,证明: $B$ 相似于对角矩阵.

设 $A,B,C$ 均是 3 阶矩阵,且满足 $\left({A + {2E}}\right) B = O,C{A}^{T} = {2C}$,其中
$$B = \left\lbrack \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ - 1 & 1 & 0 \\ 2 & - 1 & 1 \end{matrix}\right\rbrack,\;C = \left\lbrack \begin{matrix} 1 & - 2 & 1 \\ - 2 & 4 & - 2 \\ - 1 & 2 & - 1 \end{matrix}\right\rbrack$$
求矩阵 $A$ 的特征值与特征向量.

设 $A$ 是 $m \times n$ 阶的实矩阵, $\operatorname{rank}A = m < n$ . 证明存在 $\left( {n - m}\right) \times n$ 阶的实矩阵 $B$ ,使得 $\left( \begin{array}{l} A \\ B \end{array}\right)$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，且 $A{B}^{\mathrm{T}} = 0$ .

设 $A$ 是 $n\left({n \geq 3}\right)$ 阶可逆方阵，则下列结论中正确的是$\underline{\qquad}$.
(1) ${\left({A}^{ * }\right) }^{-1} = {\left({A}^{-1}\right) }^{ * }$
(2) ${\left(kA\right) }^{ * } = {k}^{n - 1}{A}^{ * }\left({k \neq 0}\right)$
(3) ${\left({A}^{ * }\right) }^{T} = {\left({A}^{T}\right) }^{ * }$
(4) ${\left({A}^{ * }\right) }^{ * } = {\left| A\right| }^{n - 2}A$

A.
(1)
(2)
B.
(2)
(3)
C.
(3)
(4)
D.
(1)
(2)
(3)
(4)