组卷台

设 $A = \left({{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3}}\right)$,其中 ${\alpha }_{1} = {\left(1,0,1\right) }^{T},{\alpha }_{2} = {\left(1,1,2\right) }^{T},{\alpha }_{3} = {\left(1,2,a\right) }^{T},B = \left({{\beta }_{1},{\beta }_{2}}\right)$,其中 ${\beta }_{1} = \; {\left(-1,2,1\right) }^{T},{\beta }_{2} = {\left(1,0,b\right) }^{T}$. 问:
(I) $a,b$ 为何值时, ${\beta }_{1},{\beta }_{2}$ 不能同时由 ${\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3}$ 线性表示?
(II) $a,b$ 为何值时, ${\beta }_{1},{\beta }_{2}$ 可同时由 ${\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3}$ 线性表示? 并求表达式.

设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵,其特征值均小于 1,证明矩阵方程 $X{A}^{2} - {AX} + X = 0$ 只有零解.

已知 ${\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3},{\alpha }_{4}$ 是 3 维非零列向量,则下列命题中
(1) 若 ${\alpha }_{4}$ 可由 ${\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3}$ 线性表示，则 ${\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3} + {\alpha }_{4}$ 线性无关；
(2) 若 ${\alpha }_{4}$ 可由 ${\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3}$ 线性表示，则 $r\left({{\alpha }_{1} + {\alpha }_{2},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3}}\right) = r\left({{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3},{\alpha }_{4}}\right)$；
(3) 若 ${\alpha }_{4}$ 不能由 ${\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3}$ 线性表示，则 ${\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3}$ 线性相关；
(4) 若 ${\alpha }_{4}$ 不能由 ${\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3}$ 线性表示，则 $2 \leq r\left({{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3},{\alpha }_{4}}\right) \leq 3$.
正确命题的个数为$\underline{\qquad}$
A.
1.
B.
2.
C.
3.
D.
4.

设二次型 $f\left( {{x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}}\right) = {x}_{1}^{2} + a{x}_{2}^{2} + {x}_{3}^{2} + 2{x}_{1}{x}_{2} - 2{x}_{2}{x}_{3} - {2a}{x}_{1}{x}_{3}$ 的标准形为 ${y}_{1}^{2} - {y}_{2}^{2} + b{y}_{3}^{2}$ . 设 $\symbf{\beta} = {\left( 1, - 1,b\right) }^{\mathrm{T}}$ ,二次型的矩阵为 $\mathbf{A}$ ,求解线性方程组 $\mathbf{A}\mathbf{X} = \symbf{\beta}$ .

设 $A = {\left({a}_{ij}\right) }_{3 \times 3}$ 为实矩阵，且 ${A}_{ij} = {a}_{ij}\left({\mathrm{i},j = 1,2,3}\right)$，其中 ${A}_{ij}$ 为 ${a}_{ij}$ 的代数余子式， ${a}_{33} = 1,\left| A\right| = 1$，则方程组 $A\left(\begin{array}{l} {x}_{1} \\ {x}_{2} \\ {x}_{3} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)$ 的解为$\underline{\hspace{7.5em}}$.

设矩阵 $X$ 满足 $\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 2 \end{array}\right) X = \left(\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array}\right)$,求 $X$.

设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵,下列命题中正确的是$\underline{\qquad}$
A. 若 $\alpha$ 是 ${A}^{T}$ 的特征向量，那么 $\alpha$ 是 $A$ 的特征向量
B. 若 $\alpha$ 是 ${A}^{ * }$ 的特征向量，那么 $\alpha$ 是 $A$ 的特征向量
C. 若 $\alpha$ 是 ${A}^{2}$ 的特征向量，那么 $\alpha$ 是 $A$ 的特征向量
D. 若 $\alpha$ 是 ${2A}$ 的特征向量，那么 $\alpha$ 是 $A$ 的特征向量

设矩阵 $A = \left(\begin{matrix} a & 1 & - 1 \\ 1 & a & - 1 \\ - 1 & - 1 & a \end{matrix}\right)$.
(1)
求正交矩阵 $P$，使得 ${P}^{T}{AP}$ 为对角矩阵；
(2)
求正定矩阵 $C$,使 ${C}^{2} = \left({a + 3}\right) E - A$,其中 $E$ 为 3 阶单位矩阵.

设 $n$ 阶方阵 $A,B$ 满足 ${AB} = A - B$ ,证明:
(1) 如果 $A$ 为幂零矩阵，即存在自然数 $k$ ，使 ${A}^{k} = 0$ ，则 $\left| {A + B + I}\right| = \left| {B + I}\right|$ .
(2) 若 $B$ 相似于对角矩阵，则存在可逆矩阵 $P$ ，使得 ${P}^{-1}{AP}$ 与 ${P}^{-1}{BP}$ 同为对角矩阵.