单位矩阵经若干次互换两行得到的矩阵称为置换矩阵。设 $A$ 为 $n$ 阶置换矩阵，$A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，则（\quad）。

A. $A^*$ 为置换矩阵
B. $A^{-1}$ 为置换矩阵
C. $A^*=A^{-1}$
D. $A^*=-A^{-1}$

设 $\left| \begin{matrix} 2 & 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 5 & 3 \\ 3 & 0 & a & b \\ 1 & - 3 & 5 & 0 \end{matrix}\right| = {A}_{41} - {A}_{42} + {A}_{43} + {10}$,其中 ${A}_{ij}$ 为元素 ${a}_{ij}$ 的代数余子式,则 $a,b$ 的值为$\underline{\qquad}$.

A. $a = 4,b = 1$
B. $a = 1,b = 4$
C. $a = 4,b$ 为任意常数
D. $a = 1,b$ 为任意常数

向量组 ${\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots,{\alpha }_{n}$ 线性无关等价于$\underline{\qquad}$.

A. 存在一组不全为 0 的数，使其线性组合不为 0
B. 存在一个向量不能由其他向量线性表示
C. 任何一个向量均不能由其他向量线性表示
D. 其中任意两个向量线性无关

设 $A,B$ 是 $n$ 阶对称矩阵, $B$ 正定,且方程 $\left| {A - {\lambda B}}\right| = 0$ 有 $n$ 个互异的根 ${\lambda }_{1},{\lambda }_{2},\cdots ,{\lambda }_{n}$ ,证明存在可逆矩阵 $\mathbf{Q}$ 使得

$${\mathbf{Q}}^{\mathrm{T}}\mathbf{B}\mathbf{Q} = \mathbf{I},\;{\mathbf{Q}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{Q} = \left( \begin{array}{llll} {\lambda }_{1} & & & \\ & {\lambda }_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_{n} \end{array}\right) .$$（注：原书题面作“$B$ 可逆”，此处因仅假设可逆不能推出 $Q^{\mathrm T}BQ=I$：例如 $B=\operatorname{diag}(1,-1)$、$A=\operatorname{diag}(1,2)$ 已有两个互异广义特征值，但合同变换保持惯性，故不可能把 $B$ 化为 $I$。补为正定后结论成立。订正为“$B$ 正定”。）

设 ${\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots,{\alpha }_{k}\left({k > 1}\right)$ 是 $n$ 维正交单位实列向量组, $A = \mathop{\sum }\limits_{i = 1}^{k}{\alpha }_{i}{\alpha }_{i}^{T},E$ 是 $n$ 阶单位矩阵,则行列式 $\left| {\left(A + E\right) }^{ * }\right| =$$\underline{\hspace{7.5em}}$.

设 $n$ 阶矩阵 $A,B$ 满足 ${A}^{2}B + B{A}^{2} = {2ABA}$ ,证明:
(1) 对任何正整数 $k$ ，都有行列式 $\left| {{\left( AB - BA\right) }^{k} + I}\right| = 1$
(2) 存在正整数 $m$ ，使得 ${\left( AB - BA\right) }^{m} = 0$ .

若矩阵 $A$ 的伴随矩阵 ${A}^{ * } = \left\lbrack \begin{matrix} 3 & 2 & - 2 \\ 0 & - 1 & 0 \\ a & 2 & - 3 \end{matrix}\right\rbrack$ 相似于矩阵 $B = \left\lbrack \begin{matrix} - 1 & 0 & 0 \\ - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix}\right\rbrack$,
其中 $\left| A\right| > 0$.
(1) 求 $a$ 的值，并求可逆矩阵 $Q$，使得 ${Q}^{-1}{A}^{ * }Q = B$；
(2) 求 ${A}^{99}$.

设3阶矩阵 $A = {\left({a}_{ij}\right) }_{3 \times 3}$ 满足 ${A}^{T} = k{A}^{ * }\left({k > 0}\right)$,若 ${a}_{11} = {a}_{12} = {a}_{13} = c > 0$，则 $c =$$\underline{\qquad}$.

A. $\frac{\sqrt{3}}{3k}$
B. $\frac{\sqrt{3}{k}^{2}}{3}$
C. $\sqrt{3}{k}^{2}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{{k}^{2}}$

设 $A$ 是 $n$ 阶方阵， $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵，且 ${A}^{2} = A$， $A \neq E$，则 $\left| A\right| =$$\underline{\hspace{7.5em}}$.

设 $A = \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ - 1 & 0 & 1 \end{array}\right),{AB} + E = {A}^{2} + B$,求 $B$.