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线性代数综合训练卷

命题人：阳光海岸数学

科目：线性代数题数：10 道总分：选填建议用时：选填

1. 题库 #11042

线性代数提高
AA 为 4 阶矩阵,若 A(A−A∗)=OA\left({A - {A}^{ * }}\right) = O,且 A≠A∗A \neq {A}^{ * },则 r(A)r\left(A\right) 可能为‾\underline{\qquad}
A. 0 或
1.
B. 1 或
3.
C. 2 或
3.
D. 1 或
2.

2. 题库 #10390

线性代数提高
设 A=(aij)A = \left({a}_{ij}\right) 为 3 阶矩阵, Aij{A}_{ij} 为元素 aij{a}_{ij} 的代数余子式. 若 A−1{A}^{-1} 的每行元素之和均为 2,且 ∣A∣  =3\left| A\right| \; = 3,则 A13+A23+A33={A}_{13} + {A}_{23} + {A}_{33} =‾\underline{\hspace{7.5em}}.

3. 题库 #11039

线性代数提高
设 nn 阶矩阵 A,BA,B 满足 AB=aA+bB{AB} = {aA} + {bB}. 其中 ab≠0{ab} \neq 0,证明:
(1) A−bEA - {bE} 和 B−aEB - {aE} 都可逆.
(2) AB=BA{AB} = {BA}.

4. 题库 #8588

线性代数基础
二次型 f(x1,x2,x3)=(x1−x2)2+(x2−x3)2+(x3−x1)2f\left({{x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}}\right) = {\left({x}_{1} - {x}_{2}\right) }^{2} + {\left({x}_{2} - {x}_{3}\right) }^{2} + {\left({x}_{3} - {x}_{1}\right) }^{2} 的标准形为‾\underline{\qquad}.

A. f=y12+y22+y32f = {y}_{1}^{2} + {y}_{2}^{2} + {y}_{3}^{2}
B. f=2y12+32y22f = 2{y}_{1}^{2} + \frac{3}{2}{y}_{2}^{2}
C. f=y12+y22−y32f = {y}_{1}^{2} + {y}_{2}^{2} - {y}_{3}^{2}
D. f=2y12+32y22+y32f = 2{y}_{1}^{2} + \frac{3}{2}{y}_{2}^{2} + {y}_{3}^{2}

5. 题库 #8565

线性代数提高
设 AA 为2阶实矩阵， α\alpha 与 β\beta 是 AA 的两个单位实特征向量，且满足 //α+β//=//α−β////\alpha + \beta // = //\alpha - \beta //，则‾\underline{\qquad}.

A. r(A)=1r\left(A\right) = 1
B. r(A)=2r\left(A\right) = 2
C. AA 必相似于对角矩阵
D. AA 必与单位矩阵合同

6. 题库 #10400

线性代数提高
已知 3 阶行列式 ∣A∣\left| A\right| 的元素 aij{a}_{ij} 均为实数，且 aij{a}_{ij} 不全为
0. 若 aij=−Aij(i,j=1,2,3){a}_{ij} = - {A}_{ij}\left({i,j = 1,2,3}\right)，其中 Aij{A}_{ij} 是 aij{a}_{ij} 的代数余子式,则 ∣A∣=\left| A\right| =‾\underline{\hspace{7.5em}}.

7. 题库 #11100

线性代数提高
已知矩阵 A=(−2−212x−200−2)A = \left(\begin{matrix} - 2 & - 2 & 1 \\ 2 & x & - 2 \\ 0 & 0 & - 2 \end{matrix}\right) 与 B=(2100−1000y)B = \left(\begin{matrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & y \end{matrix}\right) 相似.
(1)
求 x,yx,y;
(2)
求可逆矩阵 PP 使得 P−1AP=B{P}^{-1}{AP} = B.

8. 题库 #10411

线性代数提高
设 AA 为 4×34 \times 3 矩阵, BB 为 3 阶方阵,若 r(A)=3r\left(A\right) = 3,则‾\underline{\qquad}.

A. ABx=0{ABx} = 0 与 Bx=0{Bx} = 0 同解
B. ABx=0{ABx} = 0 与 Ax=0{Ax} = 0 同解
C. BTATx=0{B}^{T}{A}^{T}x = 0 与 ATx=0{A}^{T}x = 0 同解
D. BTATx=0{B}^{T}{A}^{T}x = 0 与 BTx=0{B}^{T}x = 0 同解

9. 题库 #8468

线性代数基础
已知向量 α1=(1,2,3)T,α2=(2,−1,1)T,α3=(−2,k,4)T{\alpha }_{1} = {\left(1,2,3\right) }^{T},{\alpha }_{2} = {\left(2, - 1,1\right) }^{T},{\alpha }_{3} = {\left(-2,k,4\right) }^{T} 线性相关，则 k=k =‾\underline{\hspace{7.5em}}.

10. 题库 #8607

线性代数拔尖
AA 是 nn 阶实对称矩阵， BB 是 nn 阶矩阵，则 AA 合同于矩阵 BB 的充分必要条件是‾\underline{\qquad}.
(1) r(A)=r(B)r\left(A\right) = r\left(B\right)，
(2) AA 与 BB 的正惯性指数相等，
(3) AA 与 BB 均正定矩阵，
(4) BB 是实对称矩阵.

A.
(1) 成立
B.
(4) 成立
C.
(1)
(2)
(4) 均成立
D.
(3) 成立
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线性代数提高
设 A=(−101−11a),B=(−11−11b2)A = \left(\begin{matrix} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 1 & a \end{matrix}\right),B = \left(\begin{matrix} - 1 & 1 \\ - 1 & 1 \\ b & 2 \end{matrix}\right).
(I) 若方程组 AX=0{AX} = 0 的解均是 BTX=0{B}^{T}X = 0 的解,但这两个方程组不同解,求 a,ba,b 的值;
(II) 若方程组 AX=0{AX} = 0 与 BTX=0{B}^{T}X = 0 有非零公共解,求 a,ba,b 的值,并求全部非零公共解.
线性代数提高
设 A=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮an1an2⋯ann)\mathbf{A} = \left( \begin{matrix} {a}_{11} & {a}_{12} & \cdots & {a}_{1n} \\ {a}_{21} & {a}_{22} & \cdots & {a}_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ {a}_{n1} & {a}_{n2} & \cdots & {a}_{nn} \end{matrix}\right) 是实对称矩阵,证明若 A\mathbf{A} 的主对角线元素之和为零,且 A\mathbf{A} 的所有二阶主子式全为零,则 A\mathbf{A} 是零矩阵.
线性代数提高
设 A=(112011002),B=(111011002),C=(1000310−20)A = \left(\begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}\right),B = \left(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}\right),C = \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & - 2 & 0 \end{matrix}\right),则 ‾\underline{\qquad}
A. AA 与 B,CB,C 都相似.
B. AA 与 B,CB,C 都不相似.
C. AA 与 BB 相似, AA 与 CC 不相似.
D. AA 与 BB 不相似, AA 与 CC 相似.
线性代数提高
设二次型 f(x1,x2,x3)=2x12+5x22+5x32+4x1x2−4x1x3−8x2x3f\left({{x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}}\right) = 2{x}_{1}^{2} + 5{x}_{2}^{2} + 5{x}_{3}^{2} + 4{x}_{1}{x}_{2} - 4{x}_{1}{x}_{3} - 8{x}_{2}{x}_{3}.
(I) 求一个正交变换 x=Qyx = {Qy},将 ff 化为标准形;
(II) 利用配方法,将 ff 化为标准形.

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