设 $A$ 是 3 阶矩阵, ${\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3}$ 是线性无关的 3 维列向量,且 $A{\alpha }_{1} = {\alpha }_{1} + {\alpha }_{2} + {\alpha }_{3},A{\alpha }_{2} = 2{\alpha }_{2} + {\alpha }_{3},A{\alpha }_{3} = \; 2{\alpha }_{2} + 3{\alpha }_{3}$. 求:
(I) $A$ 的全部特征值;
(II) 可逆矩阵 $P$ 及 $\Lambda$,使得 ${P}^{-1}{AP} = \Lambda$,并计算 $\left| {A - {2E}}\right|$.

设 $\mathbf{A}$ 为 $n$ 阶正定矩阵,证明对任意 $n$ 阶实矩阵 $\mathbf{B}$ ,有 $\operatorname{rank}\left( {{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{B}}\right) = \operatorname{rank}\left( \mathbf{B}\right)$ .

设 ${\alpha }_{1} = {\left(1,1,1\right) }^{T},{\alpha }_{2} = {\left(1,0, - 1\right) }^{T},{\alpha }_{3} = {\left(1,0,1\right) }^{T}$ 与 ${\beta }_{1} = {\left(1,2,1\right) }^{T},{\beta }_{2} = {\left(3,3,3\right) }^{T},{\beta }_{3} = {\left(2,4,3\right) }^{T}$ 是 ${R}^{3}$ 的两组基，则在两组基下有相同坐标的向量为$\underline{\hspace{7.5em}}$.

计算 $A = {\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}\right) }^{9}\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}\right) {\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right) }^{10} =$$\underline{\hspace{7.5em}}$.

设二次型
$$f=a(x_1^2+x_2^2+x_3^2)+4x_1x_2+4x_1x_3+4x_2x_3,$$
若方程 $f=-1$ 表示的曲面为圆柱面，则（\quad）。

A. $a=-4$，且 $f$ 的规范形为 $-y_1^2-y_2^2-y_3^2$
B. $a=-4$，且 $f$ 在正交变换下标准型为 $-6y_1^2-6y_2^2$
C. $a=2$，且 $f$ 的规范形为 $-y_1^2-y_2^2-y_3^2$
D. $a=2$，且 $f$ 在正交变换下标准型为 $-6y_1^2-6y_2^2$

设 $n$ 阶矩阵 $A$ 有特征值 ${\lambda }_{1} = 1,{\lambda }_{2} = - 1$，对应的特征向量为 ${\alpha }_{1},{\alpha }_{2},k$ 为任意常数，则下列选项中正确的是$\underline{\qquad}$.

A. $k{\alpha }_{1}$ 必是 $A$ 的特征向量
B. ${\alpha }_{1} - {\alpha }_{2}$ 必是 $A$ 的特征向量
C. ${\alpha }_{1} + {\alpha }_{2}$ 必是 $A$ 的特征向量
D. ${\alpha }_{1} + {\alpha }_{2}$ 必是 ${A}^{2}$ 的特征向量

设 3 阶矩阵 $A,B$ 满足 $AB+BA=A^2+B^2$，且 $A\ne B$，则下列结论错误的是（\quad）。

A. $(A-B)^3=O$
B. $A-B$ 只有零特征值
C. $A,B$ 不能都是对角矩阵
D. $A-B$ 只有一个线性无关的特征向量

设 $A$ 为 3 阶非零实矩阵，且 ${A}^{T} = k{A}^{ * }$ ($k$ 为非零常数).
(I) 证明: $A$ 是可逆矩阵;
(II) 求行列式 $\left| {A}^{-1}\right| + \left| {\left({A}^{ * }\right) }^{-1}\right|$.

设 $A = \left(\begin{array}{lll} 3 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right),B = \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array}\right)$，若矩阵 $X$ 满足 ${AX} + {2B} = {BA} + {2X}$，求 ${X}^{2}$.

设 $y = f\left(x\right)$ 是连续函数,点 ${P}_{i}\left({{x}_{i},{y}_{i}}\right) \left({\mathrm{i} = 1,2,3}\right)$ 为曲线 $y = f\left(x\right)$ 上三个不同点,矩阵 $A =$
$\left(\begin{array}{lll} {x}_{1} & {y}_{1} & 1 \\ {x}_{2} & {y}_{2} & 1 \\ {x}_{3} & {y}_{3} & 1 \end{array}\right)$,则 $\underline{\qquad}$.

A. $r\left(A\right) = 1$
B. $r\left(A\right) = 3$
C. $r\left(A\right) = 2$ 或 $r\left(A\right) = 3$
D. $r\left(A\right) = 1$ 或 $r\left(A\right) = 2$