组卷台

设 $A = \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$,且 ${A}^{ * }{BA} = {2BA} - {8E}$,求 $B$.

设 ${\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3}$ 均为 3 维向量,则对任意常数 $k$ 和 $\mu$,向量组 ${\alpha }_{1} + k{\alpha }_{3},{\alpha }_{2} + \mu {\alpha }_{3}$ 线性无关是向量组 ${\alpha }_{1},{\alpha }_{2}$, ${\alpha }_{3}$ 线性无关的$\underline{\qquad}$.

A. 充分必要条件
B. 充分非必要条件
C. 必要非充分条件
D. 既非充分又非必要条件

设 $A$ 为 $\left({n \geq 2}\right)$ 阶可逆矩阵,交换 $A$ 的第 1 行与第 2 行得矩阵 $B,{A}^{ * },{B}^{ * }$ 分别为 $A,B$ 的伴随矩阵,则$\underline{\qquad}$
A. 交换 ${A}^{ * }$ 的第 1 列与第 2 列得 ${B}^{ * }$.
B. 交换 ${A}^{ * }$ 的第 1 行与第 2 行得 ${B}^{ * }$.
C. 交换 ${A}^{ * }$ 的第 1 列与第 2 列得 $- {B}^{ * }$.
D. 交换 ${A}^{ * }$ 的第 1 行与第 2 行得 $- {B}^{ * }$.

已知 $\mathbf{A}$ 为 $\mathbf{n}$ 阶可逆反对称矩阵, $\mathbf{b}$ 为 $\mathbf{n}$ 维非零列向量,设 $\mathbf{B} = \left( \begin{array}{ll} \mathbf{A} & \mathbf{b} \\ {\mathbf{b}}^{\mathrm{T}} & 0 \end{array}\right)$ ,求 $\operatorname{rank}\left( \mathbf{B}\right)$ .

设向量组
$$\alpha_1=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\-1\end{pmatrix},\quad \alpha_2=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\-2\end{pmatrix},\quad \alpha_3=\begin{pmatrix}0\\-1\\1\\-1\end{pmatrix},\quad \alpha_4=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\\1\end{pmatrix}.$$
记 $A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)$，$G=(\alpha_1,\alpha_2)$。
（1）证明：$\alpha_1,\alpha_2$ 是 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 的极大线性无关组；
（2）求矩阵 $H$ 使得 $A=GH$，并求 $A^{10}$。

设 $A,B$ 为 $n$ 阶矩阵， $P,Q$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，则下列选项中错误的是$\underline{\qquad}$.

A. 若 $A = {BQ}$,则 $B$ 的列向量组与 $A$ 的列向量组等价
B. 若 $A = {PB}$,则 $B$ 的行向量组与 $A$ 的行向量组等价
C. 若 $A = {PBQ}$,则矩阵 $A$ 与 $B$ 等价
D. 若 $A = {PBQ}$,则 $B$ 的行 (列) 向量组与 $A$ 的行 (列) 向量组等价

已知 3 维线性空间的一组基为 ${\alpha }_{1} = \left({1,1,0}\right),{\alpha }_{2} = \left({1,0,1}\right),{\alpha }_{3} = \left({0,1,1}\right)$,则向量 $\beta = \left({2,0,0}\right)$ 在上述基下的坐标为$\underline{\hspace{7.5em}}$.

设 $\alpha = {\left(1,2,3\right) }^{T},\beta = {\left(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right) }^{T},A = \alpha {\beta }^{T}$，则 ${A}^{n} =$$\underline{\hspace{7.5em}}$.

设 $A = \left({{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3}}\right)$,其中 ${\alpha }_{1} = {\left(1,0,1\right) }^{T},{\alpha }_{2} = {\left(1,1,2\right) }^{T},{\alpha }_{3} = {\left(1,2,a\right) }^{T},B = \left({{\beta }_{1},{\beta }_{2}}\right)$,其中 ${\beta }_{1} = \; {\left(-1,2,1\right) }^{T},{\beta }_{2} = {\left(1,0,b\right) }^{T}$. 问:
(I) $a,b$ 为何值时, ${\beta }_{1},{\beta }_{2}$ 不能同时由 ${\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3}$ 线性表示?
(II) $a,b$ 为何值时, ${\beta }_{1},{\beta }_{2}$ 可同时由 ${\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3}$ 线性表示? 并求表达式.

设二次型 $f\left( {{x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}}\right) = {X}^{\mathrm{T}}{AX}$ 的矩阵 $A$ 满足 ${A}^{2} + A = {2I}$ ,且 $\left| A\right| = 4$ ,求二次型的规范形.