组卷台

约定.
若 $A$ 为 $s\times n$ 矩阵，满足 $AA^-A=A$ 的 $n\times s$ 矩阵 $A^-$ 称为 $A$ 的一个广义逆. 复矩阵 $A$ 的 Moore--Penrose 逆记作 $A^+$，它由四个方程
$AA^+A=A$、$A^+AA^+=A^+$、$(AA^+)^*=AA^+$、$(A^+A)^*=A^+A$ 唯一确定；这里 $A^*=\overline A'$.

设 $A$ 是数域 $K$ 上的 $s\times n$ 非零矩阵. 证明 $\operatorname{rank}(AA^-)=\operatorname{rank}(A)$.

设 $\bm\alpha=(a_1,\ldots,a_n)$、$\bm\beta=(b_1,\ldots,b_n)$ 是数域 $K$ 上的非零行向量，$n>1$，令 $A=\bm\beta'\bm\alpha$. 判断 $A$ 能否对角化；若能，求 $P,D$ 使 $P^{-1}AP=D$.

在 $n$ 维线性空间 $V$ 中有一族线性变换 $\sigma_{ij}$ （ $1\le i,j\le n$ ），其中至少一个不为零，并满足 $$\sigma_{ij}\sigma_{hk}=\begin{cases}\sigma_{ik},&j=h,\\0,&j\ne h。\end{cases}$$ 证明存在 $V$ 的一组基 $v_1,\ldots,v_n$ ，使 $$\sigma_{ij}(v_k)=\begin{cases}v_i,&j=k,\\0,&j\ne k。\end{cases}$$

对下列矩阵计算 $e^A$：
$$A_1=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix},\qquad A_2=\begin{pmatrix}0&1&1\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix},\qquad A_3=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&-1&3\\0&1&1\end{pmatrix}.$$