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高等数学综合训练卷

命题人：阳光海岸数学

科目：高等数学题数：10 道总分：选填建议用时：选填

1. 题库 #7412

高等数学提高
设 f(x,y)f\left( {x,y}\right) 在点 (0,0)\left( {0,0}\right) 的某邻域内有定义, f(0,0)=0f\left( {0,0}\right) = 0 ,且 lim⁡x→0y→0f(x,y)−x2+y2x2+y2=k\mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow 0} {y \rightarrow 0} }}\frac{f\left( {x,y}\right) - \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}}}{\sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}}} = k ( kk 为常数),则当 k>−1k > - 1 时,‾\underline{\qquad}.
A. f(x,y)f\left( {x,y}\right) 在点 (0,0)\left( {0,0}\right) 处可微
B. f(x,y)f\left( {x,y}\right) 在点 (0,0)\left( {0,0}\right) 处取得极小值
C. f(x,y)f\left( {x,y}\right) 在点 (0,0)\left( {0,0}\right) 处取得极大值
D. fx′(0,0),fy′(0,0){f}_{x}^{\prime }\left( {0,0}\right) ,{f}_{y}^{\prime }\left( {0,0}\right) 都存在

2. 题库 #9734

高等数学提高
∫0π2exsin⁡2x dx={\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\mathrm{e}}^{x}{\sin }^{2}x\,\mathrm{d}x =‾\underline{\hspace{7.5em}}.

3. 题库 #15201

高等数学基础
证明多项式 Pn(x)=12nn!⋅dn  dxn(x2−1)n{P}_{n}\left( x\right) = \frac{1}{{2}^{n}n!} \cdot \frac{{\mathrm{d}}^{n}}{\mathrm{\;d}{x}^{n}}{\left( {x}^{2} - 1\right) }^{n} 的全部根都是实数,且均分布在 (−1,1)\left( {-1,1}\right) 上.

4. 题库 #7348

高等数学基础
设向量 a=(1,2,1),b=(−1,0,2),c=(0,k,−3)a = \left( {1,2,1}\right) ,b = \left( {-1,0,2}\right) ,c = \left( {0,k, - 3}\right) 共面，则 k=k =‾\underline{\qquad}.
A. 1
B. 2
C. -1
D. -2

5. 题库 #15539

高等数学提高
试求通过三条直线: {x=0y−z=0,{x=0x+y−z=−2,{x=2y−z=0\left\{ {\begin{array}{l} x = 0 \\ y - z = 0 \end{array},\left\{ {\begin{array}{l} x = 0 \\ x + y - z = - 2 \end{array},\left\{ \begin{array}{l} x = \sqrt{2} \\ y - z = 0 \end{array}\right. }\right. }\right. 的圆柱面方程.

6. 题库 #15850

高等数学提高
求下列级数的收敛域与和函数.
(1) ∑n=0∞(−1)nn3(n+1)!xn\mathop{\sum }\limits_{n = 0}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n}{n}^{3}}{\left( {n + 1}\right) !}{x}^{n}
(2) ∑n=1∞(−1)n−1x2n+1n(2n−1)\mathop{\sum }\limits_{n = 1}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n - 1}{x}^{{2n} + 1}}{n\left( {{2n} - 1}\right) }
(3) ∑n=1∞(−1)nnx2n(2n+1)!\mathop{\sum }\limits_{n = 1}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n}n{x}^{2n}}{\left( {{2n} + 1}\right) !}

(4*) ∑n=1∞(1+12+⋯+1n)xn.\mathop{\sum }\limits_{n = 1}^{\infty }\left( {1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}}\right) {x}^{n}.

7. 题库 #15582

高等数学提高
设 f(x)f\left( x\right) 是 [a,b]\left[ {a,b}\right] 上的正值连续函数, ∫abf(x)dx=A{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x = A . 证明:

∫abf(x)ef(x)dx∫ab1f(x)dx≥(b−a)(b−a+A). {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) {\mathrm{e}}^{f\left( x\right) }\mathrm{d}x{\int }_{a}^{b}\frac{1}{f\left( x\right) }\mathrm{d}x \geq \left( {b - a}\right) \left( {b - a + A}\right) .

8. 题库 #9457

高等数学提高
设平面有界区域 DD 位于第一象限,由曲线 x2+y2−xy=1,x2+y2−xy=2{x}^{2} + {y}^{2} - {xy} = 1,{x}^{2} + {y}^{2} - {xy} = 2 与直线 y=3x,  y=0y = \sqrt{3}x,\;y = 0 围成,计算 ∬D13x2+y2 dx dy{\iint }_{D}\frac{1}{3{x}^{2} + {y}^{2}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y.

9. 题库 #7158

高等数学提高
证明下列不等式:
(I) 当 0<x<π0 < x < \pi 时,有 sin⁡x2>xπ\sin \frac{x}{2} > \frac{x}{\pi } ;
(II) 当 e<a<b\mathrm{e} < a < b 时,有 ab>ba{a}^{b} > {b}^{a} ;
(III) 当 x>0x > 0 时,有 (x2−1)ln⁡x≥(x−1)2\left( {{x}^{2} - 1}\right) \ln x \geq {\left( x - 1\right) }^{2} ;
(IV) 若 lim⁡x→0f(x)x=1\mathop{\lim }\limits_{x \rightarrow 0}\frac{f\left( x\right) }{x} = 1 ,且 f′′(x)>0{f}^{\prime \prime }\left( x\right) > 0 ,有 f(x)≥xf\left( x\right) \geq x .

10. 题库 #9520

高等数学提高
若级数 ∑n=1∞∣an∣\mathop{\sum }\limits_{n = 1}^{\infty }\left| {a}_{n}\right| 收敛，证明级数 ∑n=1∞an\mathop{\sum }\limits_{n = 1}^{\infty }{a}_{n} 收敛.
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高等数学提高
设函数 f(x)f\left(x\right) 在 [0,1]\left\lbrack {0,1}\right\rbrack 上连续,在 (0,1)\left({0,1}\right) 内大于零,并满足 xf′(x)=f(x)+3a2x2(a 为常数 )x{f}^{\prime }\left(x\right) = f\left(x\right) + \frac{3a}{2}{x}^{2}\left({a\text{ 为常数 }}\right),又曲线 y  =f(x)y \; = f\left(x\right) 与直线 x=0,x=1,y=0x = 0,x = 1,y = 0 所围的图形 SS 的面积为
2.
(I) 求函数 f(x)f\left(x\right);
(II) aa 为何值时,图形 SS 绕 xx 轴旋转一周所得旋转体的体积最小.
高等数学提高
设 f(x),g(x)f\left( x\right) ,g\left( x\right) 满足 f′(x)=g(x),g(x)=∫0x[1−f(t)]dt+1{f}^{\prime }\left( x\right) = g\left( x\right) ,g\left( x\right) = {\int }_{0}^{x}\left\lbrack {1 - f\left( t\right) }\right\rbrack {dt} + 1 ,且 f(0)=1f\left( 0\right) = 1 ,求 I=  ∫0π2e−x[g(x)−f(x)]dx.I = \; {\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\mathrm{e}}^{-x}\left\lbrack {g\left( x\right) - f\left( x\right) }\right\rbrack \mathrm{d}x.
高等数学提高
设数列 S1=1,S2,S3,⋯{S}_{1} = 1,{S}_{2},{S}_{3},\cdots 由公式 2Sn+1=Sn+Sn2+un(un>0)2{S}_{n + 1} = {S}_{n} + \sqrt{{S}_{n}^{2} + {u}_{n}}\left( {{u}_{n} > 0}\right) 确定,证明级数 ∑n=1∞un\mathop{\sum }\limits_{n = 1}^{\infty }{u}_{n} 收敛的充分必要条件是数列 {Sn}\left\{ {S}_{n}\right\} 收敛.
高等数学提高
设摆线 {x=a(t−sin⁡t)y=a(1−cos⁡t)(0≤t≤2π,a>0)\left\{\begin{array}{l}x = a\left( {t - \sin t}\right) \\ y = a\left( {1 - \cos t}\right) \\ \left( {0 \leq t \leq {2\pi },a > 0}\right)\end{array}\right. 与 xx 轴所围平面图形为 DD . 求:
(I) DD 绕 xx 轴, yy 轴各旋转一周所得旋转体的体积;
(II) DD 绕直线 y=2ay = {2a} 旋转一周所得旋转体的体积.

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