已知函数 $f\left(x\right)$ 的定义域是 $\lbrack 0, + \infty)$,且满足 $f\left(0\right) = 1,{f}^{\prime }\left(x\right) = \frac{1}{{f}^{2}\left(x\right) + {x}^{2}}$,求证: $\mathop{\lim }\limits_{x \rightarrow + \infty }f\left(x\right)$ 存在,且 $\mathop{\lim }\limits_{x \rightarrow + \infty }f\left(x\right) \leq 1 + \frac{\pi }{2}$.

微分方程 ${y}^{\prime \prime } + 2{y}^{\prime } - {3y} = {\mathrm{e}}^{-x} + x$ 的一个特解形式为$\underline{\qquad}$.
A. $a{e}^{-x} + {bx} + c$
B. ${ax}{e}^{-x} + x\left( {{bx} + c}\right)$
C. ${ax}{e}^{-x} + {bx} + c$
D. $a{e}^{x} + x\left( {{bx} + c}\right)$

计算积分 $I = {\iint }_{D}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y$ ,其中 $D : \left| x\right| + \left| y\right| \leq 2,f\left( {x,y}\right) = \left\{ \begin{array}{ll} {x}^{2}, & \left| x\right| + \left| y\right| < 1 \\ \frac{1}{\sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}}}, & 1 \leq \left| x\right| + \left| y\right| \leq 2 \end{array}\right.$ .

一容器总高为 $H$,在高度为 $h$ 处的断面面积为 $S = S\left(h\right)$,在底部有一面积为 ${s}_{0}$ 的小孔,若水流出速度 $v$ 是水深 $h$ 的函数， $v = \mu \sqrt{2gh}$，若在容器装满水后，将底部小孔打开，问多久水将流尽？

求由曲面 $1 - z = \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}},x = z,x = 0$ 所围成的立体 $\Omega$ 绕 $z$ 轴的转动惯量.

设 $y = y\left( x\right)$ 是方程 ${y}^{\prime \prime } + 2{y}^{\prime } + y = {\mathrm{e}}^{3x}$ 的解,且满足 $y\left( 0\right) = {y}^{\prime }\left( 0\right) = 0$ ,则当 $x \rightarrow 0$ 时,与 $y\left( x\right)$ 为等价无穷小的是$\underline{\qquad}$.
A. $\sin {x}^{2}$
B. $\sin x$
C. $\ln \left( {1 + {x}^{2}}\right)$
D. $\ln \sqrt{1 + {x}^{2}}$

设函数 $f\left( x\right) > 0$ ,在区间 $\left[ {0,1}\right]$ 上连续,证明 $\mathop{\lim }\limits_{n \rightarrow \infty }\sqrt[n]{\mathop{\sum }\limits_{i = 1}^{n}{\left[ f\left( \frac{i}{n}\right) \right] }^{n}\frac{1}{n}} = \mathop{\max }\limits_{{x \in \left[ {0,1}\right] }}f\left( x\right)$ .

计算球面 ${x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = {a}^{2}$ 包含在柱面 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1\left( {b \leq a}\right)$ 内部分的面积.

设 $a > 0$ ,证明 ${\int }_{1}^{a}f\left( {{x}^{2} + \frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}}\right) \frac{\mathrm{d}x}{x} = {\int }_{1}^{a}f\left( {x + \frac{{a}^{2}}{x}}\right) \frac{\mathrm{d}x}{x}$ .

设 $f\left( x\right)$ 在 $\left[ {0,1}\right]$ 上连续,在 $\left( {0,1}\right)$ 内可导,且 $f\left( 0\right) = 0,f\left( 1\right) = 1$ . 证明存在 $\xi ,\eta \in \left( {0,1}\right)$ ,且 $\xi \neq \eta$ , 使得 $\left[ {1 + {f}^{\prime }\left( \xi \right) }\right] \left[ {1 + {f}^{\prime }\left( \eta \right) }\right] = 4$ .