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高等数学综合训练卷

命题人：阳光海岸数学

科目：高等数学题数：10 道总分：选填建议用时：选填

1. 题库 #15453

高等数学拔尖
(最大微分熵) 设 p(x)p\left( x\right) 是区间 [a,b]\left[ {a,b}\right] 上的连续型概率密度函数,即 p(x)≥0,∫abp(x)dx=1p\left( x\right) \geq 0,{\int }_{a}^{b}p\left( x\right) \mathrm{d}x = 1 . p(x)p\left( x\right) 的微分熵定义为 H[p(x)]=−∫abp(x)ln⁡p(x)dxH\left[ {p\left( x\right) }\right] = - {\int }_{a}^{b}p\left( x\right) \ln p\left( x\right) \mathrm{d}x ,证明当且仅当在 [a,b]\left[ {a,b}\right] 上恒有 p(x)=1b−ap\left( x\right) = \frac{1}{b - a} 时, H[p(x)]H\left[ {p\left( x\right) }\right] 达到最大值 ln⁡(b−a)\ln \left( {b - a}\right) .

2. 题库 #15096

高等数学提高
设 f∈C(−∞,+∞)f \in C\left( {-\infty , + \infty }\right) ,证明对一切 xx 满足 f(2x)=f(x)exf\left( {2x}\right) = f\left( x\right) {\mathrm{e}}^{x} 的充分必要条件是 f(x)=f(0)exf\left( x\right) = f\left( 0\right) {\mathrm{e}}^{x} .

3. 题库 #15564

高等数学提高
设 DD 是 xOy{xOy} 面上圆 x2+y2=1{x}^{2} + {y}^{2} = 1 与直线 y=xy = x 所围成的上半圆区域,若

∬Dx(a+arctan⁡y)dx  dy+∫01  dy∫y1[ex2x−ey2]dx=0, {\iint }_{D}x\left( {a + \arctan y}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y + {\int }_{0}^{1}\mathrm{\;d}y{\int }_{y}^{1}\left[ {\frac{{\mathrm{e}}^{{x}^{2}}}{x} - {\mathrm{e}}^{{y}^{2}}}\right] \mathrm{d}x = 0,

则求常数 aa 的值.

4. 题库 #15905

高等数学提高
对于每一个正整数 nn ,用 a(n)a\left( n\right) 表示 nn 的 3 进位数中 0 的个数. 试求 ∑n=1∞xa(n)n3\mathop{\sum }\limits_{n = 1}^{\infty }\frac{{x}^{a\left( n\right) }}{{n}^{3}} 的收敛域.

5. 题库 #15244

高等数学提高
设 f(x)=x2(x−1)2(x−3)2f\left( x\right) = {x}^{2}{\left( x - 1\right) }^{2}{\left( x - 3\right) }^{2} ,试问曲线 y=f(x)y = f\left( x\right) 有几个拐点,并证明结论.

6. 题库 #15381

高等数学提高
设 f:[0,1]→Rf : \left[ {0,1}\right] \rightarrow \mathbb{R} 有连续导数,并且 ∫01f(x)dx=0{\int }_{0}^{1}f\left( x\right) \mathrm{d}x = 0 ,证明对每一个 b∈(0,1)b \in \left( {0,1}\right) ,有

∣∫0bf(x)dx∣≤18max⁡0≤x≤1∣f′(x)∣. \left| {{\int }_{0}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \leq \frac{1}{8}\mathop{\max }\limits_{0 \leq x \leq 1}\left| {{f}^{\prime }\left( x\right) }\right| .

7. 题库 #9617

高等数学提高
求导数 (xx)′{\left({x}^{x}\right) }^{\prime }.

8. 题库 #9781

高等数学提高
解方程 y dx+(x−3y2)dy=0y\,\mathrm{d}x + \left({x - 3{y}^{2}}\right) \mathrm{d}y = 0.

9. 题库 #15360

高等数学拔尖
证明下列不等式:
(1) 1200(1−e−100)≤∫0100e−xx+100 dx≤1100(1−e−100)\displaystyle\frac{1}{200}(1-\mathrm e^{-100})\leq \int_0^{100}\frac{\mathrm e^{-x}}{x+100}\,\mathrm dx\leq \frac{1}{100}(1-\mathrm e^{-100})
(2) ∫02πsin⁡x2 dx>2−22π\displaystyle\int_0^{\sqrt{2\pi}}\sin x^2\,\mathrm dx>\frac{2-\sqrt2}{2\sqrt\pi}

(3*) 13<∫12e1/x−x dx<12\displaystyle\frac13<\int_1^2\mathrm e^{1/x-x}\,\mathrm dx<\frac12

(4*) ∫0π/2x(sin⁡nxsin⁡x)4 dx≤(n24−18)π2\displaystyle\int_0^{\pi/2}x\left(\frac{\sin nx}{\sin x}\right)^4\,\mathrm dx\leq\left(\frac{n^2}{4}-\frac18\right)\pi^2，其中 nn 为正整数.

10. 题库 #15568

高等数学基础
计算 ∬Dsgn⁡(xy−1)dx  dy{\iint }_{D}\operatorname{sgn}\left( {{xy} - 1}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y ,其中 D={(x,y)∣0≤x≤2,0≤y≤2}D = \{ \left( {x,y}\right) \mid 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 2\} .

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高等数学提高
设函数 f(x)f\left(x\right) 在 x0{x}_{0} 附近 n+1n + 1 阶连续可导,且 f(n+1)(x0)≠0,f(x){f}^{\left(n + 1\right) }\left({x}_{0}\right) \neq 0,f\left(x\right) 在 x0{x}_{0} 点的带拉格朗日余项的泰勒公式为 f(x0+h)=f(x0)+f′(x0)h+⋯+hnn!f(n)(x0+θn(h)h)f\left({{x}_{0} + h}\right) = f\left({x}_{0}\right) + {f}^{\prime }\left({x}_{0}\right) h + \cdots + \frac{{h}^{n}}{n!}{f}^{\left(n\right) }\left({{x}_{0} + {\theta }_{n}\left(h\right) h}\right),其中 θn(h)∈(0,1){\theta }_{n}\left(h\right) \in \left({0,1}\right). 求证: lim⁡h→0θn(h)=  1n+1\mathop{\lim }\limits_{h \rightarrow 0}{\theta }_{n}\left(h\right) = \; \frac{1}{n + 1}. (其中 θn(h){\theta }_{n}\left(h\right) 表示一个依赖于 hh 和 nn 的实数)
高等数学基础
设函数 y=f(x)y = f\left( x\right) 由 {x=∫0t2e−u2 duy=∫0tsin⁡(t−u)du\left\{\begin{array}{l}x = {\int }_{0}^{t}2{\mathrm{e}}^{-{u}^{2}}\,\mathrm{d}u \\ y = {\int }_{0}^{t}\sin \left( {t - u}\right) \mathrm{d}u\end{array}\right. 确定，则当 x→0x \rightarrow 0 时， f(x)f\left( x\right) 是 x2{x}^{2} 的‾\underline{\qquad}
A. 高阶无穷小
B. 等价无穷小
C. 同阶但不等价无穷小
D. 低阶无穷小
高等数学提高
函数 f(x)={ln⁡(a+x2),x>1,x+b,x≤1,f\left(x\right) = \left\{\begin{array}{ll} \ln \left({a + {x}^{2}}\right), & x > 1, \\ x + b, & x \leq 1, \end{array}\right. 在 x=1x = 1 可导,则 a=a =‾\underline{\hspace{7.5em}}， b=b =‾\underline{\hspace{7.5em}}.
高等数学提高
(仅数一、数二) 设函数 y=y(x)y = y\left(x\right) 由参数方程 {x=13t3+t+13,y=13t3−t+13\left\{ \begin{array}{l} x = \frac{1}{3}{t}^{3} + t + \frac{1}{3}, \\ y = \frac{1}{3}{t}^{3} - t + \frac{1}{3} \end{array}\right. 确定.
(1) 求 y(x)y\left(x\right) 的极值;
(2) 若 {u=x,v=y+k,\left\{ \begin{array}{l} u = x, \\ v = y + k, \end{array}\right. 且 v=v(u)v = v\left(u\right) 恰有一个零点,求常数 kk 的取值范围.

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