设 $f$ 是二次可微的实值函数,且满足 $f\left( x\right) + {f}^{\prime \prime }\left( x\right) = - {xg}\left( x\right) {f}^{\prime }\left( x\right)$ ,其中对所有实数 $x,g\left( x\right) \geq 0$ . 证明 $f\left( x\right)$ 有界.

求曲线 $y = {\mathrm{e}}^{-x}\sqrt{\sin x}\left( {x \geq 0}\right)$ 绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积.

设 $y = f\left( x\right)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x = {t}^{2} + 1 \\ y = {4t} - {t}^{2} \\ t \geq 0\end{array}\right.$ 确定,则 $\mathop{\lim }\limits_{n \rightarrow \infty }n\left\lbrack {f\left( \frac{{2n} + 1}{n}\right) - 3}\right\rbrack =$$\underline{\qquad}$.

设函数 $f\left( u\right)$ 有连续的一阶导数, $f\left( 2\right) = 1$ ,且函数 $z = {xf}\left( \frac{y}{x}\right) + {yf}\left( \frac{y}{x}\right)$ 满足

$$\frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{x} - {\left( \frac{y}{x}\right) }^{3}\;\left( {y > x > 0}\right) ,$$

求 $z$ 的表达式.（注：原书题面作“$\left( {x > 0,y > 0}\right)$”，此处因令 $u=y/x$ 后方程为 $(1-u^2)f'(u)+2f(u)=u-u^3$。在 $u=1$ 处虽强制 $f(1)=0$，但任一邻域解均含 $(1-u)\ln|1-u|$，不可能在 $u=1$ 连续可微；原区域跨越该奇点，条件彼此矛盾。订正为“$\left( {y > x > 0}\right)$”。）

微分方程 $\frac{\mathrm{d}y}{\,\mathrm{d}x} = \frac{{2x} - {5y} + 3}{{2x} + {4y} - 6}$ 满足 $y\left(0\right) = 2$ 的特解为$\underline{\hspace{7.5em}}$.

已知函数 $f\left(x\right) = x + 1$,若其傅里叶展开式 $f\left(x\right) = \frac{{a}_{0}}{2} + \mathop{\sum }\limits_{n = 1}^{\infty }{a}_{n}\cos {nx},x \in \left\lbrack {0,\pi }\right\rbrack$, 则 $\mathop{\lim }\limits_{n \rightarrow \infty }{n}^{2}\sin {a}_{{2n} - 1} =$$\underline{\hspace{7.5em}}$.

(最大微分熵) 设 $p\left( x\right)$ 是区间 $\left[ {a,b}\right]$ 上的连续型概率密度函数,即 $p\left( x\right) \geq 0,{\int }_{a}^{b}p\left( x\right) \mathrm{d}x = 1$ . $p\left( x\right)$ 的微分熵定义为 $H\left[ {p\left( x\right) }\right] = - {\int }_{a}^{b}p\left( x\right) \ln p\left( x\right) \mathrm{d}x$ ,证明当且仅当在 $\left[ {a,b}\right]$ 上恒有 $p\left( x\right) = \frac{1}{b - a}$ 时, $H\left[ {p\left( x\right) }\right]$ 达到最大值 $\ln \left( {b - a}\right)$ .

设 $z = f\left( {x,y}\right)$ 在区域 $D$ 有连续的偏导数, $\Gamma : x = x\left( t\right) ,y = y\left( t\right) \left( {a \leq t \leq b}\right)$ 是 $D$ 中的光滑曲线, $\Gamma$ 的端点为 $A,B$ . 若 $f\left( A\right) = f\left( B\right)$ ,证明存在点 ${M}_{0}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \in \Gamma$ ,使得 $\frac{\partial f\left( {M}_{0}\right) }{\partial l} = 0$ ,其中 $l$ 是 $\Gamma$ 在 ${M}_{0}$ 点的切线的方向向量.

函数 $f\left({x,y}\right) = \left\{\begin{array}{ll} \left({{x}^{2} + {y}^{2}}\right) \sin \frac{1}{{x}^{2} + {y}^{2}}, & {x}^{2} + {y}^{2} \neq 0 \\ 0, & {x}^{2} + {y}^{2} = 0 \end{array}\right.$ 在 $\left({0,0}\right)$ 是否可微? 在 $\left({0,0}\right)$ 点的偏导数是什么?

设级数 $\mathop{\sum }\limits_{n = 2}^{\infty }\frac{1}{n{\ln }^{p}n}$ 与 ${\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{\left( {{p}^{2} - 4}\right) x}\,\mathrm{d}x$ 都收敛，则$\underline{\qquad}$.
A. $1 < p < 2$
B. $0 < p < 2$
C. $- 2 < p < 2$
D. $1 \leq p < 2$