下列反常积分中收敛的是$\underline{\qquad}$.
A. ${\int }_{1}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{{x}^{2}\sqrt{1 + x}}$
B. ${\int }_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{\ln \left( {1 + x}\right) }$
C. ${\int }_{-1}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{\sin x}$
D. ${\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{x}{\sqrt{1 + {x}^{2}}}\,\mathrm{d}x$

已知函数 $f\left(x\right)$ 满足 $f\left(x\right) = \frac{1}{{\left(2 - x\right) }^{2}} - {\int }_{0}^{1}f\left(x\right) \mathrm{d}x$,将 $f\left(x\right)$ 展开成 $x$ 的幂级数.

设 $f\left( x\right)$ 有二阶连续导数， $f\left( 0\right) = 0$ ， ${f}^{\prime }\left( 0\right) = 1$ ，曲线积分 $I = {\int }_{L}\left\lbrack {x{e}^{2x} - {6f}\left( x\right) }\right\rbrack \sin y\,\mathrm{d}x - \; \left\lbrack {{5f}\left( x\right) - {f}^{\prime }\left( x\right) }\right\rbrack \cos y\,\mathrm{d}y$ 与路径无关，求 $f\left( x\right)$ 的表达式.

设 $\bigtriangleup {ABC}$ 的三个顶点 $A,B,C$ 分别位于曲线 ${L}_{1} : f\left( {x,y}\right) = 0,{L}_{2} : g\left( {x,y}\right) = 0,{L}_{3} : h\left( {x,y}\right) = 0$ 上，证明若 $\bigtriangleup {ABC}$ 的面积达到最大值，则曲线在 $A,B,C$ 处的法线都与三角形的对边垂直.

设当 $x > - 1$ 时,可微函数 $f\left( x\right)$ 满足条件 ${f}^{\prime }\left( x\right) + f\left( x\right) - \frac{1}{x + 1}{\int }_{0}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t = 0$ ,且 $f\left( 0\right) = 1$ . 证明当 $x \geq 0$ 时,有 ${\mathrm{e}}^{-x} \leq f\left( x\right) \leq 1$ 成立.

求以 $P\left({1,2,3}\right)$ 为顶点, $L: \left\{ \begin{array}{l} x = \cos u, \\ y = \sin u,\text{ (其中 }u\text{ 为曲线 }L\text{ 的参数) 为准线的锥面 }S\text{ 的方程. } \\ z = u, \end{array}\right.$

设函数 $f\left( x\right)$ 在 $\left( {{x}_{0} - \delta ,{x}_{0} + \delta }\right)$ 上有 $n$ 阶连续导数,且 ${f}^{\left( k\right) }\left( {x}_{0}\right) = 0\left( {k = 2,3,\cdots ,n - 1}\right) ,{f}^{\left( n\right) }\left( {x}_{0}\right) \neq 0$ , 当 $0 < \left| h\right| < \delta$ 时, $f\left( {{x}_{0} + h}\right) - f\left( {x}_{0}\right) = h{f}^{\prime }\left( {{x}_{0} + {\theta h}}\right) \left( {0 < \theta < 1}\right)$ . 证明 $\mathop{\lim }\limits_{h \rightarrow 0}\theta = \frac{1}{\sqrt[{n - 1}]{n}}$ .

证明压缩映射原理.
(1) 设 $f\left( x\right)$ 在 $\left( {-\infty , + \infty }\right)$ 上连续，存在 $0 < \alpha < 1$ ，使得对任何 $x,y$ 都有

$$\left| {f\left( x\right) - f\left( y\right) }\right| \leq \alpha \left| {x - y}\right| .$$

证明存在唯一的 ${x}_{0}$ ,使得 ${x}_{0} = f\left( {x}_{0}\right)$ ( ${x}_{0}$ 称为 $f\left( x\right)$ 的不动点).
(2) 设 $f\left( x\right)$ 在 $\left( {-\infty , + \infty }\right)$ 上可导且 $\left| {{f}^{\prime }\left( x\right) }\right| \leq \alpha$ ，其中常数 $\alpha < 1$ . 任取 ${x}_{1} \in \left( {-\infty , + \infty }\right)$ ，有 ${x}_{n + 1} = f\left( {x}_{n}\right) \left( {n = 1,2,\cdots }\right)$ . 证明 $\mathop{\lim }\limits_{n \rightarrow \infty }{x}_{n}$ 存在,并且不依赖于初始值 ${x}_{1}$ .

设数列 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 满足 $0 < {x}_{1} < \pi ,{x}_{n + 1} = \sin {x}_{n}\left( {n = 1,2,\cdots }\right)$ ,求 $\mathop{\lim }\limits_{n \rightarrow \infty }{\left( \frac{{x}_{n + 1}}{\tan {x}_{n}}\right) }^{\frac{1}{{x}_{n}^{2}}}$ .

设曲面 $S : \left| x\right| + \left| y\right| + \left| z\right| = 1$ ，则 $I = {\oint }_{S}\left( {x + y + \left| z\right| }\right) {dS} =$$\underline{\qquad}$.