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高等数学综合训练卷

命题人：阳光海岸数学

科目：高等数学题数：10 道总分：选填建议用时：选填

1. 题库 #7351

高等数学基础
方程 x2−y24+z2=1{x}^{2} - \frac{{y}^{2}}{4} + {z}^{2} = 1 表示‾\underline{\qquad}.
A. 旋转单叶双曲面
B. 双叶双曲面
C. 双曲柱面
D. 锥面

2. 题库 #7563

高等数学提高
设 y=y(x)y = y\left( x\right) 有一阶连续导数, y(0)=1y\left( 0\right) = 1 ,且满足 y′(x)+3∫0xy′(t)dt+2x∫01y(xu)du+e−x=0{y}^{\prime }\left( x\right) + 3{\int }_{0}^{x}{y}^{\prime }\left( t\right) {dt} + {2x}{\int }_{0}^{1}y\left( {xu}\right) \mathrm{d}u + {\mathrm{e}}^{-x} = 0 ,求 y=  y(x)y = \; y\left( x\right) .

3. 题库 #7110

高等数学基础
y=(x−1)2(x−3)2y = {\left( x - 1\right) }^{2}{\left( x - 3\right) }^{2} 的拐点个数为‾\underline{\qquad}.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

4. 题库 #7343

高等数学提高
设 f(x)f\left( x\right) 在 [0,+∞)\lbrack 0, + \infty ) 上有连续的二阶导数,且 ∣f′′(x)∣≤1\left| {{f}^{\prime \prime }\left( x\right) }\right| \leq 1 .
(I) 证明: ∣∫01f(x)dx−f(12)∣≤124\left| {{\int }_{0}^{1}f\left( x\right) \mathrm{d}x - f\left( \frac{1}{2}\right) }\right| \leq \frac{1}{24} .
(II) 若对任意的 x∈[0,+∞)x \in \lbrack 0, + \infty ) ,有 f(x)=f(x+1),nf\left( x\right) = f\left( {x + 1}\right) ,n 为正整数. 证明: ∣∫0nf(x)dx∣≤n[16+∣f(0)∣]\left| {{\int }_{0}^{n}f\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \leq n\left\lbrack {\frac{1}{6} + \left| {f\left( 0\right) }\right| }\right\rbrack .

5. 题库 #7630

高等数学提高
将 f(x)=xexf\left( x\right) = x{e}^{x} 在 x=2x = 2 处展开为幂级数,并求 f(n)(2){f}^{\left( n\right) }\left( 2\right) .
(10)将 f(x)=x−13−xf\left( x\right) = \frac{x - 1}{3 - x} 在 x=1x = 1 处展开为幂级数,并求 f(n)(1){f}^{\left( n\right) }\left( 1\right) .

6. 题库 #7063

高等数学提高
已知 lim⁡x→02arctan⁡x−ln⁡1+x1−xxp=c≠0\mathop{\lim }\limits_{x \rightarrow 0}\frac{2\arctan x - \ln \frac{1 + x}{1 - x}}{{x}^{p}} = c \neq 0 ，则‾\underline{\qquad}.
A. p=3,c=−43p = 3,c = - \frac{4}{3}
B. p=−3,c=43p = - 3,c = \frac{4}{3}
C. p=43,c=3p = \frac{4}{3},c = 3
D. p=−43,c=−3p = - \frac{4}{3},c = - 3

7. 题库 #15669

高等数学提高
设函数 f(x)f\left( x\right) 和 g(x)g\left( x\right) 有连续导数,且 LL 为平面上任意简单光滑闭曲线, LL 围成的平面区域为 DD , 已知 ∮Ly[x−f(x)]dx+[yf(x)+g(x)]dy=∬Dyg(x)dσ{\oint }_{L}y\left[ {x - f\left( x\right) }\right] \mathrm{d}x + \left[ {{yf}\left( x\right) + g\left( x\right) }\right] \mathrm{d}y = {\iint }_{D}{yg}\left( x\right) \mathrm{d}\sigma ,求函数 f(x)f\left( x\right) 和 g(x)g\left( x\right) .

8. 题库 #9634

高等数学提高
f(x)f\left(x\right) 可导, F(x)=f(x)(1+∣sin⁡x∣)F\left(x\right) = f\left(x\right) \left({1 + \left| {\sin x}\right| }\right). 若使 F(x)F\left(x\right) 在 x=0x = 0 处可导,则必有 ‾\underline{\qquad}

A. f(0)=0f\left(0\right) = 0.
B. f′(0)=0{f}^{\prime }\left(0\right) = 0.
C. f(0)+f′(0)=0f\left(0\right) + {f}^{\prime }\left(0\right) = 0.
D. f(0)−f′(0)=0f\left(0\right) - {f}^{\prime }\left(0\right) = 0.

9. 题库 #7392

高等数学基础
设 z=f(xy,xy)+g(yx)z = f\left( {{xy},\frac{x}{y}}\right) + g\left( \frac{y}{x}\right) ， ff 具有二阶连续偏导数， gg 具有二阶连续导数，则 ∂2z∂x∂y=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y} =‾\underline{\qquad}.

10. 题库 #7536

高等数学基础
求微分方程 y′′′−y′=0{y}^{\prime \prime \prime } - {y}^{\prime } = 0 的一条积分曲线,使此积分曲线在原点处有拐点,且以直线 y=2xy = {2x} 为切线.

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高等数学提高
设 f(x)f\left( x\right) 在 (−∞,+∞)\left( {-\infty , + \infty }\right) 内可导，则下列命题中正确的是‾\underline{\qquad}.
A. 若 lim⁡x→−∞f(x)=−∞\mathop{\lim }\limits_{x \rightarrow - \infty }f\left( x\right) = - \infty ,则必有 lim⁡x→−∞f′(x)=−∞\mathop{\lim }\limits_{x \rightarrow - \infty }{f}^{\prime }\left( x\right) = - \infty
B. 若 lim⁡x→−∞f′(x)=−∞\mathop{\lim }\limits_{x \rightarrow - \infty }{f}^{\prime }\left( x\right) = - \infty ,则必有 lim⁡x→−∞f(x)=−∞\mathop{\lim }\limits_{x \rightarrow - \infty }f\left( x\right) = - \infty
C. 若 lim⁡x→+∞f(x)=+∞\mathop{\lim }\limits_{x \rightarrow + \infty }f\left( x\right) = + \infty ,则必有 lim⁡x→+∞f′(x)=+∞\mathop{\lim }\limits_{x \rightarrow + \infty }{f}^{\prime }\left( x\right) = + \infty
D. 若 lim⁡x→+∞f′(x)=+∞\mathop{\lim }\limits_{x \rightarrow + \infty }{f}^{\prime }\left( x\right) = + \infty ,则必有 lim⁡x→+∞f(x)=+∞\mathop{\lim }\limits_{x \rightarrow + \infty }f\left( x\right) = + \infty
高等数学提高
积分 I=∫01dy∫0y2ysin⁡(1−x)2 dx=I = {\int }_{0}^{1}{dy}{\int }_{0}^{{y}^{2}}{y\sin {\left( 1 - x\right) }^{2}\,\mathrm{d}x} =‾\underline{\qquad}.
高等数学提高
判断 ∫1+∞arctan⁡xxx2+x+1 dx{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\arctan x}{x\sqrt{{x}^{2} + x + 1}}\,\mathrm{d}x 的收敛性.
高等数学基础
设 f(x)f\left( x\right) 具有二阶连续导数, f(0)=0,f′(0)=1f\left( 0\right) = 0,{f}^{\prime }\left( 0\right) = 1 ,且

[xy(x+y)−f(x)y]dx+[f′(x)+x2y]dy=0 \left[ {{xy}\left( {x + y}\right) - f\left( x\right) y}\right] \mathrm{d}x + \left[ {{f}^{\prime }\left( x\right) + {x}^{2}y}\right] \mathrm{d}y = 0

为一全微分方程,求 f(x)f\left( x\right) 及此全微分方程的通解.

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