今日推荐练习

设$$f(x,y)=\begin{cases}xy\cos\dfrac1{\sqrt{x^2+y^2}},&(x,y)\ne(0,0),\\[0.6em]0,&(x,y)=(0,0).\end{cases}$$证明：$f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，但偏导函数不连续.

设$$f(x)=\arctan(\sin x),\qquad x_1=\frac12,$$令$$x_{n+1}=f(x_n),\qquad n=1,2,\ldots.$$讨论$$\sum_{n=1}^{\infty}x_n^2$$的敛散性.

设 $M \in {M}_{n}\left( \mathbb{C}\right) ,\bar{M}$ 为 $M$ 的复共轭矩阵. 证明: 若 $M$ 与 $\bar{M}$ 相似,则 $M$ 复相似于一个实矩阵.

设 $A = \left( \begin{matrix} {2026} & 2 & - 2 \\ 2 & {2029} & - 4 \\ - 2 & - 4 & {2029} \end{matrix}\right)$ ,记 $M = \left\{ {B \in {M}_{3}\left( \mathbb{R}\right) \mid {AB} = {BA}}\right\}$ (即所有与 $A$ 可交换的 3 阶实矩阵构成的集合),求 $\dim M =$ _____.

曲线由参数方程$$x=t,\qquad y=t^2$$给出，求该曲线在 $t=1$ 处的曲率。

求所有整数 $m$ ,使得 $f\left( x\right) = {x}^{5} + {mx} + 1$ 在有理数域上可约.

讨论反常积分$$\int_1^{+\infty}\frac{\sin x}{x^p}\,\mathrm{d}x\qquad (p>0)$$的敛散性，并说明收敛时是绝对收敛还是条件收敛.

已知实矩阵矩阵 $A$ 的顺序主子式均非负, $A$ 是否半正定?

取实数域 $\mathbb{R}$ 上的 3 级矩阵

$$A = \left( \begin{matrix} 3 & - 1 & 1 \\ - 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{matrix}\right)$$

(1) 求正交矩阵 $C$ ,使得 ${C}^{\prime }{AC}$ 为对角矩阵,其中 ${C}^{\prime }$ 表示 $C$ 的转置.

(2) 求正定矩阵 $B$ ,使得 ${B}^{2} = A$ .

设 $f\left( X\right) = {X}^{\mathrm{T}}{AX}$ 是正定二次型, $A = {\left( {a}_{ij}\right) }_{n \times n}$ 是实对称阵,其中 $X = {\left( {x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}\right) }^{\mathrm{T}}$ 是 $n$ 维实向量.

(1) 证明: 关于 $Y = {\left( {y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n}\right) }^{\mathrm{T}}$ 的二次型 $g\left( Y\right) = \det \left( \begin{matrix} A & Y \\ {Y}^{\mathrm{T}} & 0 \end{matrix}\right)$ 是负定二次型.

(2) 证明: $\left| A\right| \leq {a}_{nn}{A}_{n - 1}$ ,其中 ${A}_{n - 1}$ 是 $A$ 的 $n - 1$ 阶顺序主子式.

(3) 证明: $\left| A\right| \leq {a}_{11}{a}_{22}\cdots {a}_{nn}$ .

(4) 对实方阵 $B = {\left( {b}_{ij}\right) }_{n \times n}$ ,证明: $\left| B\right| \leq \sqrt{\mathop{\prod }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {{b}_{1i}^{2} + {b}_{2i}^{2} + \cdots + {b}_{ni}^{2}}\right) }$ .

比较下列无穷大量：

1. $x$ 与 $(\ln x)^{100}$，其中 $x\to+\infty$；
2. $(\ln x)^{100}$ 与 $\mathrm e^{(\ln x)100}$，其中 $x\to+\infty$。

如果 ${\mathbb{R}}^{3}$ 上的线性变换 $\mathcal{A}$ 有三个互相正交的一维不变子空间,则 $\mathcal{A}$ 一定是对称变换吗? 为什么?