题目

设函数 $f\left( x\right)$ 在区间 $\left( {-a,a}\right)$ 内有定义，其中 $a > 0$ ，且对任意 ${x}_{1}$ ， ${x}_{2} \in \left( {-a,a}\right)$ ，有 $\mid f\left( {x}_{1}\right) - \; f\left( {x}_{2}\right) \left| \leq \right| {x}_{1} - {x}_{2} \mid$ ,证明: $F\left( x\right) = f\left( x\right) + x$ 在 $\left( {-a,a}\right)$ 内单调增加.