题目

设 ${f}_{n}\left( x\right) = 1 - {\left( 1 - \cos x\right) }^{n}\left( {n = 1,2,\cdots }\right)$ .
(I) 证明: 方程 ${f}_{n}\left( x\right) = \frac{1}{2}$ 在 $\left( {0,\frac{\pi }{2}}\right)$ 内有且仅有一个实根 ${x}_{n}$ ;
(II) 设 ${x}_{n} \in \left( {0,\frac{\pi }{2}}\right)$ ,满足 ${f}_{n}\left( {x}_{n}\right) = \frac{1}{2}$ ,证明: $\arccos \frac{1}{n} < {x}_{n} < \frac{\pi }{2}$ ,且 $\mathop{\lim }\limits_{n \rightarrow \infty }{x}_{n} = \frac{\pi }{2}$ .