证明：令 \[ F(x)=x-1-2\ln x,\qquad x>0. \] 则原方程 \(x=1+2\ln x\) 等价于 \[ F(x)=0. \] (I) 由基本不等式 \(2<\mathrm e<3\)，可得 \[ F(\mathrm e)=\mathrm e-1-2=\mathrm e-3<0. \] 又因为 \[ F(\mathrm e^3)=\mathrm e^3-1-2\ln \mathrm e^3 =\mathrm e^3-1-6 =\mathrm e^3-7>0 \] 其中 \(\mathrm e>2\)，故 \(\mathrm e^3>8\)。函数 \(F(x)\) 在 \((0,+\infty)\) 上连续，因此由零点存在定理，存在 \[ \xi\in(\mathrm e,\mathrm e^3) \] 使得 \[ F(\xi)=0 \] 即 \[ \xi=1+2\ln \xi. \] 下面证明唯一性。对 \(x>\mathrm e\)，有 \[ F'(x)=1-\frac{2}{x}. \] 由于 \(x>\mathrm e>2\)，所以 \[ F'(x)>0. \] 因此 \(F(x)\) 在 \((\mathrm e,+\infty)\) 上严格递增，从而在该区间内至多有一个零点。结合前面已经证明存在零点，可知方程 \[ x=1+2\ln x \] 在 \((\mathrm e,+\infty)\) 内有唯一实根，记为 \(\xi\)。 (II) 令 \[ \varphi(x)=1+2\ln x,\qquad x>0. \] 则迭代关系为 \[ x_n=\varphi(x_{n-1}),\qquad n=1,2,\cdots. \] 由 \(\xi\) 是方程的根，得 \[ \varphi(\xi)=\xi. \] 先证明区间 \((\mathrm e,\xi)\) 在迭代下具有不变性，并且迭代值增大。任取 \[ x\in(\mathrm e,\xi). \] 由于 \(F(x)\) 在 \((\mathrm e,+\infty)\) 上严格递增，且 \(x<\xi\)，所以 \[ F(x)0 \] 所以 \(\varphi(x)\) 在 \((0,+\infty)\) 上严格递增。由 \(x<\xi\)，得到 \[ \varphi(x)<\varphi(\xi)=\xi. \] 于是对任意 \(x\in(\mathrm e,\xi)\)，都有 \[ \mathrm e\mathrm e,\qquad \eta\le \xi. \] 对递推式 \[ x_n=1+2\ln x_{n-1} \] 两边令 \(n\to\infty\)。由于 \(\ln x\) 在 \((0,+\infty)\) 上连续，且 \(x_{n-1}\to\eta\)，得到 \[ \eta=1+2\ln \eta. \] 也就是说，\(\eta\) 是方程 \[ x=1+2\ln x \] 在 \((\mathrm e,+\infty)\) 内的根。由第 (I) 问已证唯一性，必有 \[ \eta=\xi. \] 因此 \[ \lim_{n\to\infty}x_n=\xi. \]

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