题目

设 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上连续,且 $f\left( 0\right) = f\left( 1\right)$ ,证明:
(I) 至少存在一点 $\xi \in \left( {0,1}\right)$ ,使得 $f\left( \xi \right) = f\left( {\xi + \frac{1}{2}}\right)$ ;
(II) 至少存在一点 $\xi \in \left( {0,1}\right)$ ,使得 $f\left( \xi \right) = f\left( {\xi + \frac{1}{n}}\right) \left( {n \geq 2\text{ 为自然数 }}\right)$ .