题目

$\left( I\right)$ 设 $f\left( x\right)$ 是 $\lbrack 0, + \infty )$ 上单调减少且非负的连续函数. 证明: $f\left( {k + 1}\right) \leq {\int }_{k}^{k + 1}f\left( x\right) \mathrm{d}x \leq f\left( k\right) \; \left( {k = 1,2,\cdots }\right)$ ;

(II) 证明: $\ln \left( {1 + n}\right) \leq 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} \leq 1 + \ln n$ ,并求极限 $\mathop{\lim }\limits_{n \rightarrow \infty }\frac{1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}}{\ln n}$ .