题目

设连续型随机变量 $X$ 的分布函数为 $F\left(x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & x \leq - a, \\ {k}_{1} + {k}_{2}\arcsin \frac{x}{a}, & - a < x \leq a, \\ 1, & x > a, \end{array}\right.$ 其中 $a > 0$. 求:
(I) 常数 ${k}_{1},{k}_{2}$ 的值;
(II) $X$ 的概率密度;
(III) $P\left\{ {\left| X\right| < \frac{a}{2}}\right\}$.