20:I[3338,["7330","static/chunks/d3ac728e-c562e0571d47a36f.js","8500","static/chunks/8500-3953cc33eeceb44e.js","6262","static/chunks/6262-dab67375b043b22e.js","4683","static/chunks/app/problems/%5Bid%5D/page-3972aa70df9a908c.js"],"default"] 21:T5a2,设 \(X\sim \operatorname{Exp}(2)\)，则其分布函数为 \[ F_X(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\ 1-\mathrm{e}^{-2x}, & x\ge 0. \end{cases} \] 由于 \(X\ge 0\) 几乎处处，故 \[ Y=1-\mathrm{e}^{-2X} \] 的取值范围为 \(0\le Y<1\) 几乎处处。下面求 \(Y\) 的分布函数。记 \(F_Y(y)=\mathbb P(Y\le y)\)。当 \(y<0\) 时，由于 \(Y\ge 0\) 几乎处处，故 \[ F_Y(y)=0. \] 当 \(0\le y<1\) 时， \[ \begin{aligned} F_Y(y) &=\mathbb P\left(1-\mathrm{e}^{-2X}\le y\right)\\ &=\mathbb P\left(\mathrm{e}^{-2X}\ge 1-y\right). \end{aligned} \] 由于函数 \(\mathrm{e}^{-2x}\) 关于 \(x\) 单调递减，且 \(1-y>0\)，于是 \[ \mathrm{e}^{-2X}\ge 1-y \iff -2X\ge \ln(1-y) \iff X\le -\frac12\ln(1-y). \] 因此 \[ \begin{aligned} F_Y(y) &=\mathbb P\left(X\le -\frac12\ln(1-y)\right)\\ &=F_X\left(-\frac12\ln(1-y)\right)\\ &=1-\exp\left\{-2\left(-\frac12\ln(1-y)\right)\right\}\\ &=1-\exp\{\ln(1-y)\}\\ &=1-(1-y)\\ &=y. \end{aligned} \] 当 \(y\ge 1\) 时，由于 \(Y<1\) 几乎处处，故 \[ F_Y(y)=1. \] 综上，\(Y\) 的分布函数为 \[ F_Y(y)= \begin{cases} 0, & y<0,\\ y, & 0\le y<1,\\ 1, & y\ge 1. \end{cases} \] 由分布函数可知，\(Y\) 在区间 \((0,1)\) 上连续且可导，其概率密度为 \[ f_Y(y)=F_Y'(y)=1,\qquad 0

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