设 \(F_Y(y)\) 为 \(Y=\sin X\) 的分布函数。由于 \(\sin X\in[-1,1]\)，故 \[ F_Y(y)=0,\quad y<-1;\qquad F_Y(y)=1,\quad y\ge 1. \] 下面考虑 \(-1\le y<1\) 的情形。令 \[ \alpha=\arcsin y,\qquad \alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right). \] 在每一个周期内，不等式 \[ \sin x\le y \] 的解集可写为 \[ x\in \left[\pi-\alpha+2k\pi,\;2\pi+\alpha+2k\pi\right], \qquad k\in\mathbb Z. \] 因此 \[ \{x:\sin x\le y\} = \bigcup_{k\in\mathbb Z} \left[\pi-\alpha+2k\pi,\;2\pi+\alpha+2k\pi\right], \] 且这些区间两两至多只有端点相交。于是 \[ F_Y(y) = P(\sin X\le y) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{\pi-\alpha+2k\pi}^{2\pi+\alpha+2k\pi} f(x)\,\mathrm dx, \qquad -1\le y<1, \] 其中 \(\alpha=\arcsin y\)。综上，\(Y\) 的分布函数为 \[ F_Y(y)= \begin{cases} 0, & y<-1,\\ \displaystyle \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{\pi-\arcsin y+2k\pi}^{2\pi+\arcsin y+2k\pi} f(x)\,\mathrm dx, & -1\le y<1,\\ 1, & y\ge 1. \end{cases} \] 下面求 \(Y\) 的概率密度。对 \(-1

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