题目

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立,其概率密度分别为 ${f}_{X}\left(x\right) = \left\{ {\begin{array}{ll} {\lambda }_{1}{\mathrm{e}}^{-{\lambda }_{1}x}, & x > 0, \\ 0, & x \leq 0, \end{array},{f}_{Y}\left(y\right) = }\right. \; \left\{ {\begin{array}{ll} {\lambda }_{2}{\mathrm{e}}^{-{\lambda }_{2}y}, & y > 0, \\ 0, & y \leq 0, \end{array}\text{ 其中 }{\lambda }_{1} > 0,{\lambda }_{2} > 0}\right.$ 为常数. 令 $Z = \left\{ {\begin{array}{ll} 1, & X \leq Y, \\ 0, & X > Y, \end{array}\text{ 求 }Z}\right.$ 的分布律和分布函数.