题目

设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立， $X$ 在区间 $\left({0,1}\right)$ 内服从均匀分布， $Y$ 的概率密度为 ${f}_{Y}\left(y\right) =$
$$\left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-\frac{y}{2}}, & y > 0, \\ 0, & y \leq 0. \end{array}\right.$$
(I) 求 $\left({X,Y}\right)$ 的联合概率密度;
(II) 设 $X$ 和 $Y$ 满足关于 $k$ 的二次方程, ${k}^{2} + {2Xk} + Y = 0$,求 $k$ 有实根的概率.