题目

设二维随机变量 $\left({X,Y}\right)$ 的概率密度为 $f\left({x,y}\right) = \frac{1}{k}\left({1 + {xy}}\right) {\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}\left({{x}^{2} + {y}^{2}}\right) }\left({k > 0,\left({x,y}\right) \in {R}^{2}}\right)$.
(I) 求 $k$ 的值,并判别 $X$ 与 $Y$ 是否相互独立;
(II) 若 $Z$ 服从区间 $\left\lbrack {-\pi,\pi }\right\rbrack$ 上的均匀分布,且 $X$ 与 $Z$ 相互独立,求 $U = X + Z$ 的概率密度.