蒲和平非数习题解答 综合题 8* 第 43 题

设 $f\left( x\right)$ 与 ${f}^{2}\left( x\right)$ 在 $\left[ {-\pi ,\pi }\right]$ 上可积, ${a}_{n},{b}_{n}$ 是 $f\left( x\right)$ 在 $\left[ {-\pi ,\pi }\right]$ 上的傅里叶系数.
(1) 记 ${S}_{n}\left( x\right) = \frac{{a}_{0}}{2} + \mathop{\sum }\limits_{k = 1}^{n}\left( {{a}_{k}\cos {kx} + {b}_{k}\sin {kx}}\right)$ ，证明 $\mathop{\max }\limits_{{x \in \left[ {-\pi ,\pi }\right] }}\left| {{S}_{n}^{\prime }\left( x\right) }\right| \leq n\sqrt{2n}\mathop{\max }\limits_{{x \in \left[ {-\pi ,\pi }\right] }}\left| {{S}_{n}\left( x\right) }\right|$
(2) 证明贝塞尔(Bessel)不等式: $\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{f}^{2}\left( x\right) \mathrm{d}x \geq \frac{{a}_{0}{}^{2}}{2} + \mathop{\sum }\limits_{n = 1}^{\infty }\left( {{a}_{n}^{2} + {b}_{n}^{2}}\right)$ .