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蒲和平非数习题解答 综合题 9* 第 29 题
线性代数
题库 #16034
拔尖
拔尖
题目
#16034
设
f
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
)
=
∑
i
,
j
=
1
n
a
i
j
x
i
x
j
f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{i,j = 1}^{n}{a}_{ij}{x}_{i}{x}_{j}
f
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
)
=
i
,
j
=
1
∑
n
a
ij
x
i
x
j
,求积分
∫
0
+
∞
f
(
x
1
e
−
t
,
x
2
e
−
2
t
,
⋯
,
x
n
e
−
n
t
)
d
t
{\int }_{0}^{+\infty }f\left( {{x}_{1}{e}^{-t},{x}_{2}{e}^{-{2t}},\cdots ,{x}_{n}{e}^{-{nt}}}\right) \mathrm{d}t
∫
0
+
∞
f
(
x
1
e
−
t
,
x
2
e
−
2
t
,
⋯
,
x
n
e
−
n
t
)
d
t
,并证明当
a
i
j
=
1
i
+
j
{a}_{ij} = \frac{1}{i + j}
a
ij
=
i
+
j
1
时,实对称矩阵
A
=
(
a
i
j
)
n
×
n
\mathbf{A} = {\left( {a}_{ij}\right) }_{n \times n}
A
=
(
a
ij
)
n
×
n
与
B
=
(
a
i
j
i
+
j
)
n
×
n
\mathbf{B} = {\left( \frac{{a}_{ij}}{i + j}\right) }_{n \times n}
B
=
(
i
+
j
a
ij
)
n
×
n
都是正定矩阵.
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