蒲和平非数习题解答 综合题 9* 第 30 题

证明以下结论:
(1) 如果 $\mathop{\sum }\limits_{j = 1}^{n}\mathop{\sum }\limits_{i = 1}^{n}{a}_{ij}{x}_{i}{x}_{j}\left( {{a}_{ij} = {a}_{ji}}\right)$ 是正定二次型,则 $f\left( {{y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n}}\right) = \left| \begin{matrix} {a}_{11} & {a}_{12} & \cdots & {a}_{1n} & {y}_{1} \\ {a}_{21} & {a}_{22} & \cdots & {a}_{2n} & {y}_{2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ {a}_{n1} & {a}_{n2} & \cdots & {a}_{nn} & {y}_{n} \\ {y}_{1} & {y}_{2} & \cdots & {y}_{n} & 0 \end{matrix}\right|$

是负定二次型
(2) 如果 $A$ 是正定矩阵，那么 $\left| A\right| \leq {a}_{nn}{H}_{n - 1}$ ，其中 ${H}_{n - 1}$ 是 $A$ 的 $n - 1$ 阶顺序主子式
(3) 如果 $A$ 是正定矩阵，那么 $\left| A\right| \leq {a}_{11}{a}_{22}\cdots {a}_{nn}$
(4) 如果 $T = {\left( {t}_{ij}\right) }_{n \times n}$ 是实可逆矩阵，那么 ${\left| T\right| }^{2} \leq \mathop{\prod }\limits_{i = 1}^{n}\left( {{t}_{1i}^{2} + {t}_{2i}^{2} + \cdots + {t}_{ni}^{2}}\right)$ .