蒲和平非数习题解答 综合题 9* 第 31 题

设 $\mathbf{A},\mathbf{C}$ 是 $n$ 阶实对称矩阵, $\mathbf{B}$ 是 $n$ 阶实矩阵,且 $\left( \begin{matrix} \mathbf{A} & \mathbf{B} \\ {\mathbf{B}}^{\mathrm{T}} & \mathbf{C} \end{matrix}\right)$ 是正定矩阵. 证明:
(1) $C - {B}^{\mathrm{T}}{A}^{-1}B$ 正定
(2) $\left| \begin{matrix} A & B \\ {B}^{\mathrm{T}} & C \end{matrix}\right| \leq \left| A\right| \cdot \left| C\right|$ .