蒲和平非数习题解答 综合题 9* 第 32 题

设 $A$ 是 $m \times n$ 阶实矩阵, $\operatorname{rank}\left( A\right) = r$ ,证明存在 $m$ 与 $n$ 阶正交矩阵 $P$ 与 $Q$ 使得 $A = P\left( \begin{array}{ll} D & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right) Q$ , 其中 $D = \operatorname{diag}\left( {{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{r}}\right) ,{a}_{i} > 0\left( {i = 1,2,\cdots ,r}\right)$ .