常微分方程练习

证明初值问题
$$\frac{\dif y}{\dif x} = (y^2 - 2y - 3)\me^{(x+y)^2}, \quad y(x_0) = y_0$$
解的最大存在区间为 $(a,b)$，那么或者 $a = -\infty$ 或者 $b = +\infty$.

证明:给定 $[0,+\infty)$ 上分段连续的一元函数 $f(t)$ 和 $g(t)$，设 $F(s)$ 和 $G(s)$ 分别是其对应的像函数.那么

1. $\laplace\left[ \me^{-at}f(t) \right] = F(s+a)$ 对于每个实数 $a$ 成立；
2. $\laplace\left[ (-t)^n f(t) \right] = F^{(n)}(s)$；
3. $\laplace\left[ \int_{0}^{t} f(\xi)\dif\xi \right] = \frac{F(s)}{s}$；
4. $\laplace\left[ \frac{f(t)}{t} \right] = \int_{s}^{+\infty} F(\tau)\dif\tau$；
5. $\laplace\left[ f(at) \right] = \frac{1}{a}F\left( \frac{s}{a} \right)$ 对于每个实数 $a>0$ 成立；
6. $\laplace\left[ f(t-\tau) \right] = \me^{-s\tau}F(s)$ 对于每个实数 $\tau>0$ 成立；
7. $\laplace\left[ \int_{0}^{t} f(t-\tau)g(\tau)\dif\tau \right] = F(s)G(s)$.

探照灯的反光镜（旋转曲面）应具有何种形状，才能使得点光源发射的光束经反射后成为一个平行线束？

求一曲线，使得过该曲线上任意点的切线与原点到这点的连线相交的交角等于 $\alpha$.

讨论初值问题 $\dfrac{\dif y}{\dif x} = x - y^2,\ y(0) = 0$ 解的最大存在区间.

给出边值问题
$$u'' = 0,\ t \in [0,1], \quad u'(0) = u(1) = 0$$
的 Green 函数.

对于一般的 $k \times m$ 矩阵值函数
$$\boldsymbol{B}(t) = \begin{pmatrix} b_{11}(t) & b_{12}(t) & \cdots & b_{1m}(t) \\ b_{21}(t) & b_{22}(t) & \cdots & b_{2m}(t) \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{k1}(t) & b_{k2}(t) & \cdots & b_{km}(t) \end{pmatrix}$$
分别定义其导数和积分为
$$\frac{\dif \boldsymbol{B}(t)}{\dif t} = \begin{pmatrix} \frac{\dif}{\dif t}b_{11}(t) & \frac{\dif}{\dif t}b_{12}(t) & \cdots & \frac{\dif}{\dif t}b_{1m}(t) \\ \frac{\dif}{\dif t}b_{21}(t) & \frac{\dif}{\dif t}b_{22}(t) & \cdots & \frac{\dif}{\dif t}b_{2m}(t) \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \frac{\dif}{\dif t}b_{k1}(t) & \frac{\dif}{\dif t}b_{k2}(t) & \cdots & \frac{\dif}{\dif t}b_{km}(t) \end{pmatrix},$$
$$\int_{a}^{b} \boldsymbol{B}(t)\dif t = \begin{pmatrix} \int_{a}^{b} b_{11}(t)\dif t & \int_{a}^{b} b_{12}(t)\dif t & \cdots & \int_{a}^{b} b_{1m}(t)\dif t \\ \int_{a}^{b} b_{21}(t)\dif t & \int_{a}^{b} b_{22}(t)\dif t & \cdots & \int_{a}^{b} b_{2m}(t)\dif t \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \int_{a}^{b} b_{k1}(t)\dif t & \int_{a}^{b} b_{k2}(t)\dif t & \cdots & \int_{a}^{b} b_{km}(t)\dif t \end{pmatrix}.$$
现设 $\boldsymbol{A}(t), \boldsymbol{B}(t)$ 分别为区间 $(a,b)$ 上 $n \times n$ 和 $k \times m$ 矩阵值函数，$\boldsymbol{x}(t)$ 为 $(a,b)$ 上 $n$ 维的向量值函数.

1. 试写出矩阵（向量）值函数导数四则运算和数乘的性质；
2. 证明：$\dfrac{\dif \boldsymbol{B}(t)}{\dif t} \equiv 0$ 的充要条件是 $\boldsymbol{B}(t) \equiv \boldsymbol{B}$ 为常值矩阵；
3. 叙述关于矩阵（向量）值函数积分的 Newton-Leibniz 公式；
4. 设 $\boldsymbol{A}(t)$ 在 $(a,b)$ 内可逆且可导，证明：$\boldsymbol{A}(t)$ 的逆矩阵也可导且
   $$\frac{\dif \boldsymbol{A}^{-1}(t)}{\dif t} = -\boldsymbol{A}^{-1}(t)\frac{\dif \boldsymbol{A}(t)}{\dif t}\boldsymbol{A}^{-1}(t);$$
5. 设 $\boldsymbol{A}(t), \boldsymbol{x}(t)$ 在 $[a,b]$ 上可积，则
   $$\left\| \int_{a}^{b} \boldsymbol{x}(t)\dif t \right\| \leqslant \int_{a}^{b} \left\| \boldsymbol{x}(t) \right\| \dif t, \quad \left\| \int_{a}^{b} \boldsymbol{A}(t)\dif t \right\| \leqslant \int_{a}^{b} \left\| \boldsymbol{A}(t) \right\| \dif t.$$

设 $p(x)$ 和 $q(x)$ 都是以 $\omega > 0$ 为周期的一元连续函数，引入
$$\bar{p} = \frac{1}{\omega}\int_{0}^{\omega} p(x)\dif x,$$
分析方程
$$\frac{\dif y}{\dif x} + p(x)y = q(x).$$

1. 试证明：若 $q(x) \equiv 0$，则上述方程具有非零解以 $\omega$ 为周期，当且仅当上述方程的任意非零解以 $\omega$ 为周期，当且仅当 $\bar{p} = 0$.
2. 试证明：若 $q(x)$ 不恒为零，则上述方程具有唯一的 $\omega$ 周期解当且仅当 $\bar{p} \neq 0$，并求出它.
3. 若 $q(x)$ 不恒为零，何时上述方程没有 $\omega$ 周期解？何时上述方程至少具有两个及以上的 $\omega$ 周期解？

试用压缩映射原理证明隐函数定理：在条形区域 $[a,b] \times \mathbb{R}$ 上，设二元函数 $f(x,y)$ 连续，$\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)$ 处处存在，且满足关系式
$$0 < m \leqslant \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) \leqslant M,$$
其中 $m$ 和 $M$ 都是实常数，那么方程 $f(x,y) = 0$ 在 $[a,b]$ 上有且只有一个连续的解.

试求 $xOy$ 平面上一对称于 $x$ 轴的曲线，使得它绕 $x$ 轴旋转后所得的旋转曲面能将平行于 $x$ 轴的入射光线经过反射后全部聚集到原点.

试判断：利用 $\Picard$ 逐次迭代法对初值问题
$$\frac{\dif x}{\dif t} = 2t - 2\sqrt{\max\{0,x\}}, \quad x(0) = 0$$
构造的 $\Picard$ 函数序列是否收敛？

证明：常系数齐次线性微分方程组 $\dfrac{\dif}{\dif t}\boldsymbol{x}(t) = \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}(t)$ 的任何解当 $t \to +\infty$ 时都趋于零，当且仅当 $\boldsymbol{A}$ 的所有特征值都具有负的实部.