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数学分析练习

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#435数学分析难度 3数学分析随机推荐数学分析考研真题中国矿业大学2026
求f(x)=(x−1)x2/3f(x)=(x-1)x^{2/3}的极小值.
#533数学分析难度 3数学分析随机推荐数学分析考研真题中国石油大学(北京)2025
设 an>0a_n>0 且单调递减，证明：∑n=1∞an与∑n=1∞2na2n\sum_{n=1}^{\infty}a_n\quad\text{与}\quad\sum_{n=1}^{\infty}2^n a_{2^n}同敛散.
#1277数学分析难度 3数学分析随机推荐数学分析考研真题河海大学2025
设f(x,y)=1(1+xy)(1+x),(x,y)∈[0,+∞)×[0,+∞).f(x,y)=\frac1{(1+xy)(1+x)},\qquad(x,y)\in[0,+\infty)\times[0,+\infty).
  1. 证明∫0+∞f(x,y) dx\int_0^{+\infty}f(x,y)\,\mathrm dx关于 y∈(0,+∞)y\in(0,+\infty) 是内闭一致收敛的。
  2. 设g(y)=∫0+∞ln⁡(1+xy)x(1+x) dx,y∈(0,+∞),g(y)=\int_0^{+\infty}\frac{\ln(1+xy)}{x(1+x)}\,\mathrm dx,\qquad y\in(0,+\infty),求 g′(y)g'(y) 及 g(1)g(1)。
#2428数学分析难度 3数学分析随机推荐数学分析考研真题云南大学2024
设 f(x)f(x) 在 [a,+∞)[a,+\infty) 上一致连续，g(x)g(x) 在 [a,+∞)[a,+\infty) 上连续，且lim⁡x→+∞[f(x)−g(x)]=0.\lim_{x\to+\infty}[f(x)-g(x)]=0.证明: g(x)g(x) 在 [a,+∞)[a,+\infty) 上一致连续.
#652数学分析难度 4数学分析随机推荐数学分析考研真题同济大学2026
设开集 U⊂R3U\subset\mathbb R^3，函数 u∈C2(U)u\in C^2(U)，且在 UU 中满足uxx+uyy+uzz=0.u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=0.证明：对任意 x0∈Ux_0\in U，若闭球 B(x0,r)‾⊂U\overline{B(x_0,r)}\subset U，则u(x0)=1∣∂B(x0,r)∣∬∂B(x0,r)u dS.u(x_0)=\frac1{|\partial B(x_0,r)|}\iint_{\partial B(x_0,r)}u\,\mathrm dS.
#1856数学分析难度 3数学分析随机推荐数学分析考研真题湖南师范大学2025
用 C[−1,1]C[-1,1] 表示闭区间 [−1,1][-1,1] 上连续函数的集合。对任意f∈C[−1,1]f\in C[-1,1]，记A(f)=∫−10f(x) dx−∫01f(x) dx.A(f)=\int_{-1}^{0}f(x)\,dx-\int_0^1f(x)\,dx.求sup⁡{A(f):max⁡−1≤x≤1∣f(x)∣≤1, f∈C[−1,1]}.\sup\left\{A(f): \max_{-1\le x\le1}|f(x)|\le1,\ f\in C[-1,1]\right\}.
#4688数学分析难度 3数学分析随机推荐陈纪修数学分析下册习题第10章 函数项级数 - §2 一致收敛级数的判别与性质
设

f(x)=∑n=1∞12ntan⁡x2n. f\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{2}^{n}}\tan \frac{x}{{2}^{n}}.

(1) 证明: f(x)f\left( x\right) 在 [0,π2]\left\lbrack {0,\frac{\pi }{2}}\right\rbrack 上连续;
(2) 计算 ∫π6π2f(x)dx{\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}f\left( x\right) \mathrm{d}x .
#1661数学分析难度 4数学分析随机推荐数学分析考研真题武汉大学2025
α\alpha 是正数，判断函数项级数∑n=0∞xαe−nx\sum_{n=0}^{\infty}x^{\alpha}e^{-nx}在 (0,+∞)(0,+\infty) 上是否一致收敛。
#4974数学分析难度 3数学分析随机推荐陈纪修数学分析下册习题第15章 含参变量积分 - §1 含参变量的常义积分
求下列函数的导数:

(1) I(y)=∫yy2e−x2y  dxI\left( y\right) = {\int }_{y}^{{y}^{2}}{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}y}\mathrm{\;d}x ;
(2) I(y)=∫yy2cos⁡xyx  dxI\left( y\right) = {\int }_{y}^{{y}^{2}}\frac{\cos {xy}}{x}\mathrm{\;d}x ;

(3) F(t)=∫0t2  dx∫x−tx+tsin⁡(x2+y2−t2)dyF\left( t\right) = {\int }_{0}^{{t}^{2}}\mathrm{\;d}x{\int }_{x - t}^{x + t}\sin \left( {{x}^{2} + {y}^{2} - {t}^{2}}\right) \mathrm{d}y .
#606数学分析难度 4数学分析随机推荐数学分析考研真题华东师范大学2025
求第二型曲面积分∬Sa2x dy dz+(z+a)2 dx dy(x2+y2+z2)3/2,\iint_S\frac{a^2x\,\mathrm dy\,\mathrm dz+(z+a)^2\,\mathrm dx\,\mathrm dy}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}},其中S: z=−a2−x2−y2,S:\ z=-\sqrt{a^2-x^2-y^2},取上侧.
#4878数学分析难度 3数学分析随机推荐陈纪修数学分析下册习题第13章 重积分 - §2 重积分的性质与计算
设 f(x)f\left( x\right) 在 R\mathbf{R} 上连续, a,ba,b 为常数. 证明

(1) ∫ab  dx∫axf(y)dy=∫abf(y)(b−y)dy{\int }_{a}^{b}\mathrm{\;d}x{\int }_{a}^{x}f\left( y\right) \mathrm{d}y = {\int }_{a}^{b}f\left( y\right) \left( {b - y}\right) \mathrm{d}y ;

(2) ∫0a  dy∫0ye(a−x)f(x)dx=∫0a(a−x)e(a−x)f(x)dx(a>0){\int }_{0}^{a}\mathrm{\;d}y{\int }_{0}^{y}{\mathrm{e}}^{\left( a - x\right) }f\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{0}^{a}\left( {a - x}\right) {\mathrm{e}}^{\left( a - x\right) }f\left( x\right) \mathrm{d}x\left( {a > 0}\right) .
#4854数学分析难度 2数学分析随机推荐陈纪修数学分析下册习题第12章 多元函数的微分学 - §7 条件极值问题与 Lagrange 乘数法
求 z=12(x4+y4)z = \frac{1}{2}\left( {{x}^{4} + {y}^{4}}\right) 在条件 x+y=ax + y = a 下的最小值,其中 x≥0,y≥0,ax \geq 0,y \geq 0,a 为常数. 并证明不等式

x4+y42≥(x+y2)4. \frac{{x}^{4} + {y}^{4}}{2} \geq {\left( \frac{x + y}{2}\right) }^{4}.