开始刷题

高等代数练习

当前只从高等代数题库中随机抽取题目。点击“直接秒了”后，该题不再推荐；点击“查看解析”会展开解析；点击“收入错题”会把题目加入错题收录。

#3446高等代数难度 3高等代数随机推荐高等代数考研真题合肥工业大学2026
设 f(x)=xn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0f\left( x\right) = {x}^{n} + {a}_{n - 1}{x}^{n - 1} + \cdots + {a}_{1}x + {a}_{0} 是数域 PP 上的 nn 次首一多项式, n≥1n \geq 1 ,且 f(x)f\left( x\right) 有 nn 个根 x1,x2,⋯ ,xn{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n} ,重根按重数计算, c∈Pc \in P 不是 f(x)f\left( x\right) 的根. 证明:

∑i=1n1xi−c=−f′(c)f(c). \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{1}{{x}_{i} - c} = - \frac{{f}^{\prime }\left( c\right) }{f\left( c\right) }.

其中 f′(x){f}^{\prime }\left( x\right) 表示 f(x)f\left( x\right) 的导数,即 f′(x)=nxn−1+(n−1)an−1xn−2+⋯+a1{f}^{\prime }\left( x\right) = n{x}^{n - 1} + \left( {n - 1}\right) {a}_{n - 1}{x}^{n - 2} + \cdots + {a}_{1} .
#4281高等代数难度 3高等代数随机推荐高等代数考研真题长安大学2026
设 f(x)f\left( x\right) 是一个实系数三次多项式,满足 (x+1)2{\left( x + 1\right) }^{2} 整除 f(x)+1,(x−1)2f\left( x\right) + 1,{\left( x - 1\right) }^{2} 整除 f(x)−1f\left( x\right) - 1 ,则 f(x)=f\left( x\right) =
#2913高等代数难度 4高等代数随机推荐高等代数考研真题南开大学2026
设 R\mathbb{R} 为实数域, A∈Rn×n,β,γ∈Rn×1,a∈RA \in {\mathbb{R}}^{n \times n},\beta ,\gamma \in {\mathbb{R}}^{n \times 1},a \in \mathbb{R} ,证明:

∣AβγTa∣=a∣A∣−γTA∗β. \left| \begin{matrix} A & \beta \\ {\gamma }^{\mathrm{T}} & a \end{matrix}\right| = a\left| A\right| - {\gamma }^{\mathrm{T}}{A}^{ * }\beta .

其中 A∗{A}^{ * } 为 AA 的伴随矩阵.
#5157高等代数难度 2高等代数随机推荐高等代数王萼芳第六版习题解答第四章:矩阵 习题
矩阵 A=(aij)A=(a_{ij}) 称为上（下）三角形矩阵，如果当 i>j(i<j)i>j(i<j) 时有 aij=0a_{ij}=0.证明：
  1. 两个上（下）三角形矩阵的乘积仍是上（下）三角形矩阵；
  2. 可逆的上（下）三角形矩阵的逆仍是上（下）三角形矩阵.
#3707高等代数难度 3高等代数随机推荐高等代数考研真题郑州大学2026
设

A=(a111a−11−1a) A = \left( \begin{matrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & - 1 \\ 1 & - 1 & a \end{matrix}\right)

是 3 阶实矩阵,证明: 当 a>2a > 2 时,对于任意一个 3 阶的正定矩阵 BB ,都有 tr⁡(AB)>0\operatorname{tr}\left( {AB}\right) > 0 (其中 tr⁡(AB)\operatorname{tr}\left( {AB}\right) 为矩阵 AB{AB} 的迹).
#3667高等代数难度 3高等代数随机推荐高等代数考研真题中国海洋大学2026
(可能有误)设 φ\varphi 是 nn 维欧氏空间 VV 上的线性变换, UU 是 VV 的子空间,且 UU 是 φ\varphi 的不变子空间,证明: U⊥{U}^{ \bot } 也是 φ\varphi 的不变子空间.
#4282高等代数难度 3高等代数随机推荐高等代数考研真题长安大学2026
实数域上四元二次型的不同规范形的个数是_____.
#2730高等代数难度 4高等代数随机推荐高等代数考研真题华东师范大学2025
使实二次型 q(x,y,z)=x2+y2+z2+t(xz−xy−yz)q\left( {x,y,z}\right) = {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} + t\left( {{xz} - {xy} - {yz}}\right) 正定的实数 tt 的取值范围是_____.
#4413高等代数难度 3高等代数随机推荐高等代数考研真题湘潭大学2024
设 AA 为 nn 阶方阵,证明: r(An)=r(An+1)r\left( {A}^{n}\right) = r\left( {A}^{n + 1}\right) .
#3388高等代数难度 4高等代数随机推荐高等代数考研真题中国科学技术大学2024
设矩阵 A∈Fm×n,B∈Fn×mA \in {\mathbb{F}}^{m \times n},B \in {\mathbb{F}}^{n \times m} ,证明: det⁡(Im+AB)=det⁡(In+BA)\det \left( {{I}_{m} + {AB}}\right) = \det \left( {{I}_{n} + {BA}}\right) .

(2) 已知矩阵 A∈Fn×nA \in {\mathbb{F}}^{n \times n} ,秩 r(A)=1r\left( A\right) = 1 ,迹 tr⁡(A)=λ\operatorname{tr}\left( A\right) = \lambda ,求 det⁡(I+A)\det \left( {I + A}\right) .
#3717高等代数难度 4高等代数随机推荐高等代数考研真题武汉大学2025
已知复矩阵 A=(00013001150)A = \left( \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ {13} & 0 & 0 \\ 1 & {15} & 0 \end{matrix}\right) ,证明: 不存在三阶复矩阵 XX ,使得矩阵方程 X2=A{X}^{2} = A 有解.
#146高等代数难度 3高等代数随机推荐高等代数考研真题北京交通大学2025
已知非齐次线性方程组

{x1+x2−2x3+3x4=02x1+x2−6x3+4x4=−13x1+2x2+px3+7x4=−1x1−x2−6x3−x4=t \left\{ \begin{array}{l} {x}_{1} + {x}_{2} - 2{x}_{3} + 3{x}_{4} = 0 \\ 2{x}_{1} + {x}_{2} - 6{x}_{3} + 4{x}_{4} = - 1 \\ 3{x}_{1} + 2{x}_{2} + p{x}_{3} + 7{x}_{4} = - 1 \\ {x}_{1} - {x}_{2} - 6{x}_{3} - {x}_{4} = t \end{array}\right.

有无穷多解,求 p,tp,t 的值与方程组的通解.