(1) 在 \(x=0\) 附近， \[ \int_0^1x^{-p}\,\mathrm dx \] 收敛当且仅当 \(p<1\)；在无穷远处， \[ \int_1^\infty x^{-p}\,\mathrm dx \] 收敛当且仅当 \(p>1\)。两个条件不可能同时成立，\(p=1\) 时两端也都对数发散。因此不存在使原积分收敛的实数 \(p\)。 (2) 在 \(x\downarrow0\) 时， \[ \frac{x^\alpha\sin x}{1+x^\beta}\sim x^{\alpha+1}, \] 故原点附近收敛当且仅当 \(\alpha>-2\)。在 \(x\to\infty\) 时，振幅 \[ \frac{x^\alpha}{1+x^\beta}\sim x^{\alpha-\beta}. \] 它最终单调趋于零当且仅当 \(\alpha<\beta\)，此时由 Dirichlet 判别法尾积分收敛；若 \(\alpha\ge\beta\)，振幅不趋于零，尾积分发散。因此原积分收敛的充分必要条件为 \[ -2<\alpha<\beta. \] 其中绝对收敛还要求 \(\alpha-\beta<-1\)，所以 \[ -2<\alpha<\beta-1 \] 时绝对收敛；\(\beta-1\le\alpha<\beta\) 时条件收敛。 (3) 端点 \(x=0\) 处令 \(t=-\ln x\)，所得尾部带有因子 \(\mathrm e^{-t}\)，故对任意实数 \(p\) 都不造成发散。唯一需要判断的是内点 \(x=1\)。因 \[ |\ln x|\sim|x-1|\qquad(x\to1), \] 被积函数与 \(|x-1|^{-p}\) 同阶。因此积分收敛当且仅当 \[ p<1. \] (4) 在 \(x=1\) 附近，\(|\ln x|\sim1-x\)，故需要 \[ \beta<1. \tag{1} \] 在 \(x=0\) 附近令 \(t=-\ln x\)，则 \[ \frac{\mathrm dx}{x^\alpha|\ln x|^\beta} =\mathrm e^{-(1-\alpha)t}t^{-\beta}\,\mathrm dt. \] 当 \(\alpha<1\) 时指数衰减保证收敛；当 \(\alpha>1\) 时发散；当 \(\alpha=1\) 时则需 \(\beta>1\)。最后一种要求与式 (1) 冲突。故全积分收敛当且仅当 \[ \alpha<1,\qquad\beta<1. \] (5) 当 \(x\downarrow0\) 时，反正切的自变量与 \(x^\alpha\) 同阶，故被积函数与 \(x^{\alpha-1}\) 同阶；题设 \(\alpha>0\) 已保证原点附近收敛。当 \(x\to\infty\) 时，若 \(0<\alpha<2\)，则 \[ \arctan\frac{x^\alpha}{1+x^2} \sim x^{\alpha-2}, \] 故除以 \(x\) 后与 \(x^{\alpha-3}\) 同阶，恰在 \(\alpha<2\) 时可积。若 \(\alpha=2\)，反正切趋于 \(\pi/4\)；若 \(\alpha>2\)，它趋于 \(\pi/2\)，两种情形都产生 \(1/x\) 型发散。因此积分收敛当且仅当 \[ 0<\alpha<2. \] (6) 在原点附近，分母为 \(x^p+\sin x\)，被积函数有界或与 \(x^{1-p}\) 同阶，故对每个 \(p>0\) 都局部可积。并且分母在 \((0,\infty)\) 上不为零：\(\sin x<0\) 时必有 \(x>\pi>1\)，从而 \(x^p>1\ge|\sin x|\)。在无穷远处作分解 \[ \frac{\sin x}{x^p+\sin x} =\frac{\sin x}{x^p} -\frac{\sin^2x} {x^{2p}(1+\sin x/x^p)}. \tag{1} \] 第一项对每个 \(p>0\) 收敛。第二项从某点起为非正，其绝对值与 \(\sin^2x/x^{2p}\) 同阶，故当且仅当 \(2p>1\) 时可积。于是原积分在 \[ p>\frac12 \] 时收敛，在 \(01\) 时绝对收敛， \(1/2-1. \tag{1} \] 若 \(\beta\) 为正奇数，\(\sin^\beta x\) 是均值为零的周期函数。尾积分由 Dirichlet 判别法收敛当且仅当 \(\alpha<0\)，故此时总积分收敛的条件为 \[ \alpha+\beta>-1,\qquad \alpha<0. \] 若 \(\beta\) 为偶数，\(\sin^\beta x\) 的周期平均为正，尾积分只能在 \(\alpha<-1\) 时收敛；结合式 (1)，条件为 \[ \alpha+\beta>-1,\qquad \alpha<-1. \] \(\beta=0\) 时这两个条件互相矛盾，故无收敛情形。奇数幂的积分在 \(-1\le\alpha<0\)（并满足式 (1)）时仅条件收敛，在 \(\alpha<-1\) 时绝对收敛。若原意是 \(x^\alpha|\sin x|^\beta\)，则需 \[ \beta>-1,\qquad \alpha+\beta>-1,\qquad \alpha<-1. \] 若原意是 \(x^\alpha\operatorname{sgn}(\sin x)|\sin x|^\beta\)，则最后一个条件改为 \(\alpha<0\)。这两种修正版说明了为什么不能在未指定幂的含义时给出唯一的一组参数范围。

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