概率论与数理统计

设 ${X}_{1},{X}_{2},\cdots,{X}_{16}$ 是来自总体 $N\left({\mu,4}\right)$ 的简单随机样本,考虑假设检验问题: ${H}_{0}: \mu \leq {10},{H}_{1}: \; \mu > {10}.\Phi \left(x\right)$ 表示标准正态分布函数. 若该检验问题的拒绝域为 $W = \left\{ {\bar{X} > {11}}\right\}$,其中 $\bar{X} = \frac{1}{16}\mathop{\sum }\limits_{i = 1}^{16}{X}_{i}$,则 $\mu = {11.5}$ 时,该检验犯第二类错误的概率为$\underline{\qquad}$.

A. $1 - \Phi \left(1\right)$
B. $1 - \Phi \left({0.5}\right)$
C. $1 - \Phi \left({1.5}\right)$
D. $1 - \Phi \left(2\right)$

设 ${X}_{1},{X}_{2},\cdots,{X}_{n}$ 为来自正态总体 $N\left({\mu,2}\right)$ 的简单随机样本,记 $\bar{X} = \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{i = 1}^{n}{X}_{i},{z}_{\alpha }$ 表示标准正态分布的上 $\alpha$ 分位数. 假设检验问题: ${H}_{0}: \mu \leq 1,{H}_{1}: \mu > 1$ 的显著性水平为 $\alpha$ 的检验的拒绝域为$\underline{\qquad}$.

A. $\left\{ {\left({{X}_{1},{X}_{2},\cdots,{X}_{n}}\right) \mid \bar{X} \geq 1 + \frac{2}{n}{z}_{\alpha }}\right\}$
B. $\left\{ {\left({{X}_{1},{X}_{2},\cdots,{X}_{n}}\right) \mid \;\bar{X} \geq 1 + \frac{\sqrt{2}}{n}{z}_{\alpha }} \right\}$
C. $\left\{ {\left({{X}_{1},{X}_{2},\cdots,{X}_{n}}\right) \mid \bar{X} \geq 1 + \frac{2}{\sqrt{n}}{z}_{\alpha }}\right\}$
D. $\left\{ {\left({{X}_{1},{X}_{2},\cdots,{X}_{n}}\right) \mid \;\bar{X} \geq 1 + \sqrt{\frac{2}{n}}{z}_{\alpha }} \right\}$

设总体 $X$ 的数学期望存在且方差为 1,根据来自 $X$ 的容量为 36 的简单随机样本测得样本均值为 $a,\Phi \left({1.96}\right) = {0.975}$,则 $X$ 的数学期望的置信度等于
0.95 的置信区间为$\underline{\qquad}$.

A. $\left({a - {0.196},a + {0.196}}\right)$
B. $\left({a - {0.327},a + {0.327}}\right)$
C. $\left({a - {0.49},a + {0.49}}\right)$
D. $\left({a - {0.025},a + {0.025}}\right)$

设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left({\mu,{\sigma }^{2}}\right)$,其中 ${\sigma }^{2}$ 已知, $n$ 是给定的样本容量, $\mu$ 为未知参数, 则 $\mu$ 的等尾双侧置信区间长度 $L$ 与置信度 $1 - \alpha$ 的关系是$\underline{\qquad}$.

A. 当 $1 - \alpha$ 减小时， $L$ 减小
B. 当 $1 - \alpha$ 减小时， $L$ 增大
C. 当 $1 - \alpha$ 减小时， $L$ 不变
D. 当 $1 - \alpha$ 减小时， $L$ 增减不定