线性代数

设 $A,B$ 分别为实数域上的 $3\times4$ 和 $4\times3$ 矩阵，且
$$AB=\begin{pmatrix} -9&2&2\\ -20&5&4\\ -35&7&8 \end{pmatrix}, \qquad BA=\begin{pmatrix} -14&2x-5&2&6\\ 0&1&0&0\\ -15&3x-3&3&6\\ -32&6x-7&4&14 \end{pmatrix}.$$
求 $x$ 的值。

设 $n$ 为奇数，实方阵 $A,B$ 满足 $AB=0$。若 $J_A$ 与 $A$ 相似、$J_B$ 与 $B$ 相似，证明 $A+J_A$ 与 $B+J_B$ 中至少有一个不可逆。

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵。证明存在一个对角元均为 $1$ 或 $-1$ 的对角矩阵 $J$，使得 $A+J$ 可逆。

设 $n$ 为偶数。证明存在两个 $n$ 阶实方阵 $A,B$，使得对每个非零向量 $v\in\mathbb R^n$，向量 $Av$ 与 $Bv$ 线性无关。