线性代数

设 $A$ 是 $m \times n$ 阶实矩阵, $\operatorname{rank}\left( A\right) = r$ ,证明存在 $m$ 与 $n$ 阶正交矩阵 $P$ 与 $Q$ 使得 $A = P\left( \begin{array}{ll} D & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right) Q$ , 其中 $D = \operatorname{diag}\left( {{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{r}}\right) ,{a}_{i} > 0\left( {i = 1,2,\cdots ,r}\right)$ .

设 $\mathbf{A},\mathbf{C}$ 是 $n$ 阶实对称矩阵, $\mathbf{B}$ 是 $n$ 阶实矩阵,且 $\left( \begin{matrix} \mathbf{A} & \mathbf{B} \\ {\mathbf{B}}^{\mathrm{T}} & \mathbf{C} \end{matrix}\right)$ 是正定矩阵. 证明:
(1) $C - {B}^{\mathrm{T}}{A}^{-1}B$ 正定
(2) $\left| \begin{matrix} A & B \\ {B}^{\mathrm{T}} & C \end{matrix}\right| \leq \left| A\right| \cdot \left| C\right|$ .

证明以下结论:
(1) 如果 $\mathop{\sum }\limits_{j = 1}^{n}\mathop{\sum }\limits_{i = 1}^{n}{a}_{ij}{x}_{i}{x}_{j}\left( {{a}_{ij} = {a}_{ji}}\right)$ 是正定二次型,则 $f\left( {{y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n}}\right) = \left| \begin{matrix} {a}_{11} & {a}_{12} & \cdots & {a}_{1n} & {y}_{1} \\ {a}_{21} & {a}_{22} & \cdots & {a}_{2n} & {y}_{2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ {a}_{n1} & {a}_{n2} & \cdots & {a}_{nn} & {y}_{n} \\ {y}_{1} & {y}_{2} & \cdots & {y}_{n} & 0 \end{matrix}\right|$

是负定二次型
(2) 如果 $A$ 是正定矩阵，那么 $\left| A\right| \leq {a}_{nn}{H}_{n - 1}$ ，其中 ${H}_{n - 1}$ 是 $A$ 的 $n - 1$ 阶顺序主子式
(3) 如果 $A$ 是正定矩阵，那么 $\left| A\right| \leq {a}_{11}{a}_{22}\cdots {a}_{nn}$
(4) 如果 $T = {\left( {t}_{ij}\right) }_{n \times n}$ 是实可逆矩阵，那么 ${\left| T\right| }^{2} \leq \mathop{\prod }\limits_{i = 1}^{n}\left( {{t}_{1i}^{2} + {t}_{2i}^{2} + \cdots + {t}_{ni}^{2}}\right)$ .

设 $f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{i,j = 1}^{n}{a}_{ij}{x}_{i}{x}_{j}$ ,求积分 ${\int }_{0}^{+\infty }f\left( {{x}_{1}{e}^{-t},{x}_{2}{e}^{-{2t}},\cdots ,{x}_{n}{e}^{-{nt}}}\right) \mathrm{d}t$ ,并证明当 ${a}_{ij} = \frac{1}{i + j}$ 时,实对称矩阵 $\mathbf{A} = {\left( {a}_{ij}\right) }_{n \times n}$ 与 $\mathbf{B} = {\left( \frac{{a}_{ij}}{i + j}\right) }_{n \times n}$ 都是正定矩阵.