高等数学

设 $f\in C^2[0,+\infty)$ 有界且恒大于零，$C>0$ 为常数，并且对任意 $x\geq0$ 有 $f''(x)\geq C f(x)$。证明：对任意 $x\geq0$，$$f(x)$\leq$ f(0)e^{-\sqrt C\,x}.$$$$

设 $f$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导，且 $|f'(x)|\leq M$，其中 $M>0$。证明：对任意 $x,y>0$，$$\left|\frac1x$\int$_0^xf(t)\,\mathrm dt-\frac1y$\int$_0^yf(t)\,\mathrm dt\right|$\leq$\frac M2|x-y|.$$$$

设 $\lambda_1^k+\lambda_2^k+\cdots+\lambda_n^k>0$（$k=1,2,\ldots$），并令 $$f(x)=\frac{1}{(1-\lambda_1x)(1-\lambda_2x)\cdots(1-\lambda_nx)}.$$$$ 证明：对每个正整数 $k$，$f^{(k)}(0)>0$。

设可导函数 $f$ 对一切 $u\ne v$ 都满足 $$$$\frac{f(u)-f(v)}{u-v}=\alpha f'(u)+\beta f'(v),$$$$$$ 其中 $\alpha,\beta>0$，$\alpha+\beta=1$。求 $f(x)$ 的表达式。